Родился в семье врача Еврейской больницы в северном бессарабском местечке Бричаны (теперь райцентр Бричанского района Молдовы). После окончания гимназии в Москве в 1910 году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. Был домашним учителем детей в семье Собинова. После окончания университета в 1914 году с дипломом первой степени продолжил обучение на экономическом отделении Московского коммерческого института, который окончил в 1917 году. Начал научную деятельность в Аэродинамической лаборатории Н.Е. Жуковского.
В 1918—1923 годах заведовал статистическим отделением Мосгубсовнархоза и экономическим отделом Управления сельскохозяйственной экономии и плановых работ Наркомзема. В 1923—1928 годах — консультант и заместитель директора новообразованного Конъюнктурного института Наркомфина СССР, которым руководил Н.Д. Кондратьев; в 1929—1930 годах — старший научный сотрудник сектора статистики внешней торговли института. Занимался исследовательской работой также в созданном А.В.Чаяновым Научно-исследовательском институте сельскохозяйственной экономии и политики при Тимирязевской академии.
Первые научные работы А.Л.Вайнштейна были посвящены вопросам экономики и статистики сельского хозяйства. В годы НЭПа вышли его первые монографии, крупнейшие из которых — «Обложение и платежи крестьянства в довоенное и революционное время» (1924) и «Эволюция урожайности зерновых хлебов в России до войны и перспективы ее развития в будущем» (1927). А.Л. Вайнштейн стал одним из первых отечественных интерпретаторов метода прогнозирования рыночной конъюнктуры, получившего название «экономического барометра», увлёкся применением методологии гармонического анализа (рядов Фурье) к исследованию периодичности и прогнозированию колебательных процессов в экономике. Его научные интересы в те годы включали изучение рыночной циклической экономики НЭПа, движения конъюнктуры и методов сознательного регулирования хозяйственных процессов по схеме «рынок плюс план», а также анализ оперативной и долгосрочной народнохозяйственной динамики.
Первый раз А.Л. Вайнштейн был арестован в 1930 году вместе с рядом других видных представителей экономической науки (Н.Д. Кондратьевым, А.В. Чаяновым, Л.Н. Юровским) по делу «Трудовой крестьянской партии». Выслан в Алма-Ату, где работал консультантом Госплана Казахской ССР, но в 1933 году реабилитирован. По возвращении в Москву преподавал математику и статистику в нескольких высших учебных заведениях, продолжил прикладные исследования в научных институтах Наркомата пищевой промышленности.
Повторно арестован в 1937 году, когда его сына — будущего радиофизика Л.А. Вайнштейна — при поступлении в институт заставили написать письменное отречение от отца, якобы выступавшего против советской власти. Вновь арестован в 1941 году, осуждён на 8 лет лагерей строгого режима; срок отбывал в Карагандинской области. После освобождения в 1949 году оставлен в Караганде на пожизненное поселение, где находился до окончательной реабилитации в 1957 году.
Вернувшись в Москву в 1957 году целиком посвятил себя научно-исследовательской работе. Уже к 1960 году Вайнштейн завершил свой монументальный труд «Народное богатство и народнохозяйственное накопление предреволюционной России», в следующем году защитил докторскую диссертацию и в 1963 году был назначен профессором Центрального экономико-математического института АН СССР, где стал одним из ведущих теоретиков, наравне с Л.В.Канторовичем, В.С.Немчиновым, В.В.Новожиловым, А.Л. Лурье. Преподавал также в Промышленно-экономическом институте, Московском государственном университете и Московском институте народного хозяйства. В эти годы он также руководил теоретическим семинаром для начинающих экономистов.
Работоспособность А.Л. Вайнштейна в последнее десятилетие жизни оказалась неимоверной: к концу жизни он успел написать свыше 40 книг и брошюр, более 100 статей. Руководил переводом ряда зарубежных работ по математическим методам экономического анализа, издание которых сыграло большую роль в повышении научной культуры советских экономистов. В работе «Народный доход России и СССР. История, методология, исчисления, динамика» (1969) Вайнштейн попытался возродить методику расчёта агрегированных индексов, характеризующих состояние советской и российской национальной экономики («экономический барометр»), над которой он работал ещё в Конъюнктурном институте в середине 1920-х годов. Последняя его книга, «Цены и ценообразование в СССР в восстановительный период 1921–1928 гг.» (1972), была опубликована посмертно. Двухтомное издание избранных научных трудов А.Л. Вайнштейна было выпущено издательством «Наука» в серии «Памятники экономической мысли» в 2000 году.
Всю свою жизнь А.Л. Вайнштейн занимался, главным образом, проблемами макроэкономической статистики, исследовал долгосрочную динамику изменения доходов и цен, на десятилетие предвосхитив клиометрическое направление новой экономической науки. Другие направления научно-исследовательской работы Вайнштейна включали разработку экономико-математических методов, методологии экономической статистики, решение задач по оптимизации сельскохозяйственного производства, разработку математического обеспечения учёта национального богатства. Значительное влияние на советскую экономическую науку оказали составленные им библиографии трудов по отечественной и мировой статистике и экономическому моделированию, исследования функции сбережений, эффективности капитальных вложений, анализ динамики и структуры национального дохода, критериев оптимальности экономики. Им впервые в мировой науке был применён метод «непрерывной инвентаризации» основных фондов при оценке народного богатства. Под его редакцией издан коллективный труд «Народно-хозяйственные модели. Теоретические вопросы потребления» (Москва, 1963).
Сын А.Л. Вайнштейна — крупный советский радиофизик Лев Альбертович Вайнштейн (1920—1989).