Альбрехт Ахиллес родился 25 января 1914 года в Карлсруэ. Морскую карьеру начал в апреле 1934 года, поступив на курсы подготовки офицеров (Crew 34). До 1940 года служил сперва на устаревшем линкоре «Шлезвиг-Гольштейн», затем на линейном крейсере «Гнейзенау». В течение года обучался в морской школе Мюрвик, в апреле 1940 года переведён в подводный флот. В качестве офицера совершил три похода на U-66 типа IXC под командованием Ричарда Заппа, был награждён Железным крестом 2-го класса и боевым знаком подводника. 1 сентября 1941 года присвоено звание капитан-лейтенанта.
1 января 1942 года Альбрехт Ахиллес принял у Ганса-Людвига Витта командование субмариной U-161 типа IXC с только что завершившим обучение экипажем. В качестве командира этой лодки Ахиллес совершил шесть боевых походов, в основном в Карибском море, но также в Южной Атлантике и водах у побережья Африки. На счету лодки было 13 потопленных судов (63 412 брт) и 1 потопленный военный корабль (1130 т), 5 повреждённых судов (35 672 брт) и повреждённый британский лёгкий крейсер HMS Phoebe (5450 т). 5 апреля 1942 года, после завершения второго похода, Альбрехт Ахиллес был награждён Железным крестом 1-го класса, после завершения четвёртого похода, 16 января 1943 года, он стал кавалером Рыцарского железного креста.
27 сентября 1943 года возле Баии, в районе Сальвадора у побережья Бразилии в районе с координатами -2.5, -35.583333 U-161 была потоплена самолетом «Маринер» эскадрильи VP-74 ВМС США. Командир погиб вместе с лодкой и со всем экипажем.
5 апреля 1945 года Альбрехту Ахиллесу посмертно было присвоено воинское звание корветтен-капитана.