В Бреслау его отец Фридрих Бенедикт Вебер (1774—1848) был профессором сельского хозяйства и политической экономии.
С 1848 Вебер читал в Берлинском университете лекции по санскритской литературе и санскритскому языку и состоял членом Берлинской Академии наук. Также он был иностранным членом-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской академии наук (с 1860 года).
Его главнейшие работы: издание «белой» Яджурведы (Yajurveda, 2-e изд., вместе с «чёрной» Яджурведой, 1871—1872, Берлин), и «Indische Studien» (т. 1—8, Берлин. 1849—1864; т. 9—17, Лейпциг, 1865—1885). В последнем сборнике заключается масса отличных работ по различным вопросам индийской древности (например, о санскритской метрике, а также издание «Тайттирия-самхиты»). В этом сборнике было напечатано также издание Ригведы Теодора Ауфрехта.
Из других сочинений Вебера следует упомянуть:
Затем ему принадлежит ряд академических докладов, в том числе:
Часть его небольших статей и рецензий собрана в «Ind. Streifen» (т. 1—2, Берлин, 1868; т. 3, Лейпциг, 1879).