Родился 17 (30) октября 1915 года в городе Переславле-Залесском. Окончил Свердловский энергетический техникум.
Распределён мастером на третий завод Главцеллюлозы в город Туринск Свердловской области, где проработал 14 лет, став директором. В 1956 году окончил с отличием Уральский лесотехнический институт. После этого назначен директором Архангельского целлюлозно-бумажного комбината. Некоторое время был заместителем начальника управления целлюлозно-бумажной промышленности Северо-Западного Совета народного хозяйства.
В 1966—1987 годах был директором Котласского целлюлозно-бумажного комбината в городе Коряжма Архангельской области. Внёс огромный вклад в совершенствование производства. Был делегатом XXV съезда КПСС, членом Архангельского областного комитета КПСС.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 марта 1976 года Дыбцыну Александру Александровичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот». В 1982 году за разработку новых высокопроизводительных технологий производства бумаги и картона на основе использования древесины лиственных пород он был удостоен Государственной премии СССР. Помимо указанного награждён орденами Ленина, Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, Дружбы народов, медалями, а также четырьмя золотыми и одной бронзовой медалями главного комитета ВДНХ СССР. Заслуженный работник лесной промышленности РСФСР. Почётный гражданин города Коряжмы.
Умер 22 августа 1992 года. Похоронен на городском кладбище Коряжмы.