Александр Грязин начал заниматься футболом с 3 лет. Воспитанник футбольной школы московского ЦСКА. Провёл 3 сезона за дублирующий состав ЦСКА.
В 1994 году стал одним из первых российских легионеров в Израиле, подписав контракт с клубом «Маккаби» из города Петах-Тиква, за который провёл лишь один матч в национальном чемпионате.
После возвращения на родину выступал за клубы: «Крылья Советов» из города Самара, раменский «Сатурн МО», «Торпедо-ЗИЛ» (Москва), «Металлург» из Липецка, в 2002 году играл за казанский «Рубин», в составе которого стал победителем первенства России в Первом дивизионе. В 2004 году выступал за «Салют-Энергия» из Белгорода. Завершал карьеру в рязанском «Спартаке-МЖК»
Дважды, в 1999 и 2000 годах, по итогам традиционного опроса среди игроков Высшего дивизиона предлагался к избранию лучшим футболистом года по версии газеты «Спорт-Экспресс».
С осени 2009 года возглавляет любительский клуб «Успенское», выступающий в западной лиге ЛФЛ 8x8 города Москвы. Под его руководством команда, в первый год её основания заняла первое место в группе «Б» 3-й лиги, и обесечила выход во вторую лигу, где в сезоне 2010-2011, так же заняла первое место право выступать в первой лиге западной лиги ЛФЛ 8x8 города Москвы. .