Родился в родовом поместье селе Болобоново Курмышского уезда Симбирской губернии (ныне - Пильнинский район Нижегородской области) в семье потомственного дворянина.
Отец Александр Егорович сделал карьеру от сына крестьянина-однодворца Орловской губернии до заместителя министра земледелия, действительного статского советника, получил потомственное дворянство.
Мать Надежда Васильевна — родная сестра матери Александра, Сергея и Бориса Ляпуновых.
Родственниками Касьяновых были семьи физиолога И. М. Сеченова, кораблестроителя А. Н. Крылова, врача В. П. Филатова. Все они жили в одной местности в своих имениях на границе Симбирской и Нижегородской губерний.
Окончил в Нижнем Новгороде гимназию и музыкальную школу В. М. Цареградского, поступил в Петроградскую консерваторию.
В 1917 г. закончил консерваторию по классу теории композиции под руководством Н. А. Соколова, затем на высшем курсе (при консерватории) занимался по классу фортепиано у своего дяди С. М. Ляпунова.
В 1918 г. после окончания консерватории вернулся в Нижний Новгород «до первого хлеба», но остался до конца жизни.
В январе 1919 г. коллектив нижегородского симфонического оркестр избрал его дирижёром.
В 1920-е годы руководил музыкальной самодеятельностью, работал консультантом и лектором в клубах, дирижёром симфонических концертов.
Принял деятельное участие в организации Народной консерватории, которую открыли к 1-й годовщине Октября. В 1918—1921 гг. преподаватель Народной консерватории (преобразованной в Нижегородский музыкальный техникум). В 1921—1924 гг. директор, в 1926—1931 гг. преподаватель музыкального техникума.
В 1922 г. составлял программы музыкальных передач и выступал в качестве пианиста в концертах, организованных радиолабораторией, основанной М. А. Бонч-Бруевичем, руководил первым в России радиоконцертом из Нижнего Новгорода.
С 1924 по 1949 гг. заведовал музыкальной частью Горьковского академического театра драмы имени А. М. Горького.
Дворянское прошлое существенно влияло на отношение советской власти к семье Касьяновых. В 1905 году был арестован отец Александра Александровича, а в 1924 г. был арестован сам Александр Касьянов, отбывавший срок в Бутырке. В 1929 г. был во второй раз арестован и расстрелян герой Первой мировой войны брат Василий, арестован во второй раз и в 1938 г. умер в тюрьме брат Юрий, эмигрировал старший брат Сергей (полковник Деникинской армии).
В 1935 г. Касьянов получил заказ написать оперу «на волжский сюжет» для открывшегося в г. Горьком оперного театра. Премьера оперы состоялась в 1939 г.
До 1936 г. являлся постоянным композитором на радио.
В 1946 году Касьянову было предложено участвовать в конкурсе на сочинение гимна РСФСР. В конкурсе среди прочих принимали участие С. С. Прокофьев, Д. Д. Шостакович, Д. Б. Кабалевский. Участник этого события Д. Р. Рогаль-Левицкий отмечал, что «При первом же прослушивании стало ясно, что из всех четырех гимнов наиболее добротным мог оказаться гимн Касьянова», однако решение по конкурсу так и не было принято.
С 1947 г. был педагогом Горьковской консерватории (с 1957 г. — профессор).
В 1951 г. принимал активное участие в создании Горьковского отдела Союза композиторов СССР и до 1962 года был председателем его правления.
В 1956 г. в Новосибирске на премьере своей оперы «Ермак» в простудился и получил осложнение на уши, в 1962 году потерял слух, который не восстановился до конца жизни.
В 1958 г. участвовал в конкурсе на создание гимна СССР.
В 1967 году вернулся к творчеству после тяжёлой болезни.
Умер 13 февраля 1982.
Оперы:
«Иола» (1923), «Степан Разин» (1939, 2-я редакция 1953, 3-я редакция 1977 поставлена в Большом театре), «Партизанка» (1941), «Фома Гордеев» (1946, 2-я редакция 1966 на сцене Кремлёвского театра), «На дальнем Севере» (1947), «Ермак» (1957).
Симфонические произведения:
«Симфоническое аллегро», «Военный марш на темы русских песен» (1946), «Увертюра на русские темы» (1943), «Фантастическая сюита» (по мотивом «Лесной песни» Леси Украинки) (1944).
Иные инструментальные произведения:
«Трио на чувашские темы» (1933), семь сонат (1917—1971), 24 прелюдии (1968), «Баллада» (1970), «Скерцо» (1971), «Камерная сюита» для виолончели и фортепиано из сочинений Шопена (1968).
Произведения для хора: Кантата «Валерий Чкалов» (1952), цикл «О Ленине» (1970), цикл «Песни о Стеньке Разине» (1972), кантата «Траурный марш» для соло, смешанного хора и фортепиано (1924), «Среди долины ровныя», 3 хора на стихи А. С. Пушкина, «Кремлевские звёзды», «Над старой стеною», «Балалайка», «Дорожная песня», «Песня моряков», «Выезд богатырей» для смешанного хора без сопровождения (1924—1951), сюита «Песня о городе Горьком».
Касьянов занимался обработкой русских и чувашских народных песен, является автором более 50 романсов, ряда патриотических песен, написанных в годы Великой Отечественной войны, педагогических пьес (1954), пьес для фортепиано — «Экспромт», «Ноктюрн», «Мазурка» (1974), им оформлено около 400 драматических спектаклей и радиопостановок.