Родился в Риге в русской интеллигентной семье. Его отец был преподавателем русского языка и литературы в школе, потом заведовал кафедрой языкознания в Рижском педагогическом институте.
Место первой публикации молодого журналиста — газета «Латвийский моряк».
Главным местом работы для Каверзнева стало Гостелерадио. Он работал корреспондентом, позже начал вести передачу «Сегодня в мире». В 1970-х и в начале 1980-х гг. считался одним из лучших политических обозревателей в СССР.
Каверзнев побывал во множестве стран: в Польше, Болгарии, Венгрии, Чехословакии, Румынии, Югославии, ГДР, Вьетнаме, Таиланде, КНДР, КНР и других.
Делал репортажи из Никарагуа в 1979, в дни свержения диктатора Анастасио Сомосы.
В 1983 году месяц провёл в командировке в Афганистане, где снимал документальный фильм «Афганский дневник». В фильме он исследовал историю страны и пытался дать свою версию её ближайшего будущего.
Возможно, именно этот фильм (позже доделанный коллегами Каверзнева Фаридом Сейфуль-Мулюковым, Леонидом Золотаревским и Натальей Ильинской) и послужил причиной таинственной смерти Каверзнева в том же году.
Каверзнев был похоронен на Кунцевском кладбище. В 2005 году родственникам журналиста сообщили, что он был отравлен. Тем не менее, точной версии его смерти и того, кто мог за ней стоять, до сих пор нет.
Именем Каверзнева названа Малая планета № 2949.
В 2007 году вышел в свет документальный фильм «Солдат Советского Союза», поставленный коллегой Каверзнева Натальей Ильинской. За этот фильм Совет ветеранов Афганистана присудил ей орден «За заслуги».
У Александра Каверзнева двое сыновей. Старший сын — Александр Александрович Каверзнев-младший (род. 22 августа 1959 в Риге) — также журналист, окончил международное отделение факультета журналистики МГУ. С 1997 года — генеральный директор ЗАО «Экстра М Медиа». Второй сын — Илья Каверзнев (род. в 1962 в Риге) — известный художник.