Родился в дворянской семье в Херсонской губернии. Окончил Воронежский кадетский корпус в 1906 году. В 1908 году закончил Елизаветградскую кавалерийскую школу и выпущен в армию корнетом. Служил в 12-м уланском Белгородском полку, с 1911 года — поручик. С января 1914 года приступил к лётной подготовке в первой российской Офицерской воздухоплавательной школе в Гатчине. В сентябре 1914 года получил квалификацию «военный лётчик», но затем некоторое время совершенствовал навыки в Военной авиационной школе.
По окончании школы с декабря 1914 года — в действующей армии на фронтах Первой мировой войны. Сначала — младший лётчик 4-го корпусного авиационного отряда. Первая воздушная победа — 18 марта (по старому стилю) 1915 года, в этот день Казаков совершил второй после Петра Нестерова воздушный таран, в котором сбил германский аппарат типа «Альбатрос», сам же благополучно приземлился. За этот подвиг 27 июля 1915 года был удостоен Георгиевского оружия.
С августа 1915 года — начальник 19-го корпусного авиационного отряда, штабс-ротмистр. С февраля 1917 года — исполняющий должность командира 1-й боевой авиационной группы Юго-Западного фронта, в марте утверждён в этой должности, а в апреле произведен в чин ротмистра. Эта группа стала первым специальным истребительным соединением в русской авиации. Став её командиром, Казаков продолжал летать на боевые задания, в июне ранен в руку четырьмя пулями в воздушном бою. Свою первую официальную победу в рядах авиагруппы он одержал 8(21) декабря 1916 года у Луцка. В одиночку атаковав 2 вражеских «Бранденбург Ц1» из 10-й авиароты, русский истребитель сумел сбить один из бомбардировщиков. Австрийский пилот Иохан Кольби был убит в воздухе двумя пулями, которые попали ему в голову. Наблюдатель — обер-лейтенант Франц Вейгель попытался самостоятельно управлять машиной и получил серьёзные травмы при посадке. Казаков за эту победу получил орден Святого Георгия 4-го класса. В сентябре 1917 года произведен в подполковники. С ноября 1917 года — исполняющий должность командира 7-го авиационного дивизиона, а в декабре того же года на общем собрании солдат избран командиром 19-го корпусного авиационного отряда.
За три года войны Казаков сбил лично 17 и в групповых боях ещё 15 самолётов противника и был признан самым результативным российским лётчиком-истребителем периода Первой мировой войны. В некоторых публикациях указывается, что он сбил 32 самолета лично, но скорее всего их авторы объединяют личные и групповые победы Казакова.
Верный воинской присяге, Казаков не принял Октябрьскую революцию и был отстранён от командования. Тем не менее, весной 1918 года он был поставлен на учёт как военный специалист и предупреждён о возможном зачислении в Красную Армию. Не желая служить красным, в июне 1918 года он тайно уехал в Мурманск. Когда в августе 1918 года в Архангельске началось формирование 1-ого Славяно-Британского авиационного отряда, Казаков был назначен его командиром. При этом только ему присвоили чин лейтенанта Королевских военно-воздушных сил, а остальные русские лётчики-офицеры (изначально в отряде было 34 русских пилота, затем их число увеличилось) зачислены в отряд в звании рядовых.
Сражался в гражданской войне на Севере, совместно с войсками Северной армии и частями войск Антанты. В январе 1919 года ранен пулей в грудь, многократно отличался в разведывательных и бомбардировочных вылётах. Весной 1919 года А. А. Казаков получает звание майора Королевских Военно-воздушных сил Великобритании и назначен командиром Двинского авиационного дивизиона.
1 августа 1919 года Казаков погиб в авиакатастрофе, разбившись на своем аэродроме. По общему мнению очевидцев этой аварии, Александр Казаков покончил жизнь самоубийством, омраченный начавшейся двумя днями ранее эвакуацией британских войск из Мурманска. В пользу этой версии говорят и такие факты, что за несколько дней до этого Казаков отказался от должности командира Двинского авиационного дивизиона, а за два дня до гибели — от предложения эвакуироваться в Великобританию. Похоронили Александра Казакова на кладбище около церкви (есть выписка из церковной книги и две фотографии похорон) в селе Двинской Березник в 250 километрах южнее Архангельска. На могиле поставили надгробие из двух перекрещенных пропеллеров, а на белой доске вывели надпись: «Лётчик Козаков. Сбил 17 немецких самолётов. Мир праху твоему, герой России». Восстановили памятник 1 августа 2009 г.