В 1911 году с золотой медалью окончил Московский университет, в 1918—1948 был профессором этого университета. В 1919—1947 годах также заведовал кафедрой Московского института инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии. В 1947—1964 годах был директором Пулковской обсерватории, организовывал восстановлением обсерватории, практически полностью разрушенной в годы Великой Отечественной войны. C 1964 года заведовал отделом астрономических постоянных Пулковской обсерватории, с 1977 — работал там же в должности консультанта. Член КПСС.
Александр Александрович Михайлов стал прототипом Януса Полуэктовича Невструева в повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу».
Труды А. А. Михайлова относятся к теории затмений, звёздной астрономии, практической и теоретической гравиметрии, астрометрии, истории науки. Был участником многих гравиметрических исследований и астрономических экспедиций для наблюдения солнечных затмений. В 1920-е годы выполнил серию работ по определению силы тяжести в районе Курской магнитной аномалии, которые имели большое значение для разведки залежей железной руды в этом районе. Предложил метод редукции силы тяжести путём конденсации внешних масс для определения фигуры Земли. Разработал новую методику наблюдения «эффекта Эйнштейна» (отклонения света звезды в поле тяготения Солнца, см. Общая теория относительности) и применил её во время затмения 1936 года. Составил звёздные атласы различной подробности, включая большой звёздный атлас со звёздами до 8,25 звёздной величины. Для уточнения постоянной аберрации предложил новый тип наблюдательной трубы, неподвижно направленной на полюс мира («полярную трубу»). Принимал участие в обработке результатов исследования Луны космическими аппаратами. Написал ряд работ по истории астрономии.
Автор «Курса гравиметрии и теории фигуры Земли» (2-е изд. 1939) и монографии «Теория затмений» (2-е изд. 1954)