Александр Назаров родился в деревне Малая Лопуховка Вольского района Саратовской области в семье крестьянина. Русский. Окончил 6 классов в посёлке Двигательстрой, ныне город Каспийск (Дагестан). В Советской Армии с 1942.
В действующей армии с 1943. В 1944 окончил курсы младших лейтенантов. Командир взвода 243-го стрелкового полка (181-я стрелковая дивизия, 13-я армия, 1-й Украинский фронт) комсомолец младший лейтенант Назаров в боях в районе города Лигниц (Польша) 7 февраля 1945 отбил 5 атак противника. Лично подбил 1 танк и 2 самоходных орудия. В критический момент боя со связкой гранат бросился под вражский танк, взорвал его и погиб сам. Звание Героя Советского Союза присвоено 27 июня 1945 посмертно. Награждён орденами Ленина, Красной Звезды.
Памятник Герою установлен в Каспийске у школы, где он учился. Школа носит его имя, в ней создан музей, посвящённый Герою.