Родился в Москве.
В 1957 г. окончил лечебный факультет 1-го Московского медицинского института. В 1957 г. поступил в аспирантуру на кафедру микробиологии этого же института. В 1961-1968 работал в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова (радиобиологический отдел) в лаборатории чл.-корр. РАН Р. Б. Хесина, в 1968-1974 — заведующий лабораторией биохимической генетики в Институте генетики и селекции промышленных микроорганизмов, в 1974-2006 — заведующий лабораторией генетики микроорганизмов Института общей генетики РАН (в 1966-1981 — директором института был академик РАН Н. П. Дубинин), с 2006 — главный научный сотрудник той же лаборатории.
А. А. Прозоров — автор трёх монографий; автор и соавтор более чем 200 статей.
На кафедре микробиологии 1-го Московского медицинского института работал с возбудителем туберкулеза и другими микобактериями под руководством проф. М. М. Дыхно. В дальнейшем главным объектом работы были различные бациллы (главным образом Bacillus subtilis), а также плазмиды и фаги этих бацилл.
Работая в лаборатории Р. Б. Хесина, экспериментально подтвердил существование связи между темпами спонтанного мутагенеза и процессом рекомбинации у бактерий.
В лаборатории генетики микроорганизмов Института общей генетики РАН по руководством А. А. Прозорова впервые было показано существование конъюгативного переноса плазмид и хромосомных генов у основного лабораторного штамма бацилл — Bacillus subtilis 168.
Руководимая А. А. Прозоровым лаборатория генетики микроорганизмов была (наряду с лабораторией проф. С. Е. Бреслера в Ленинградском институте ядерной физики) основным центром в СССР по исследованию генетической трансформации у микроорганизмов.
Под руководством А. А. Прозорова выполнены и защищены 25 кандидатских и 2 докторские диссертации. Его ученики работают в различных научных учреждениях России и за рубежом.
А. А. Прозоров около 30 лет руководит научным семинаром Института общей генетики РАН.
В 2002 году вместе с В. Ю. Троицким и М. Н. Кузнецовым выступил с критикой публикаций И. С. Кона.