Народный депутат СССР (1989—1991). Председатель исполкома Ленсовета (1990—1991). Депутат Законодательного собрания Санкт-Петербурга (1994—2002).
Родился в семье кораблестроителей: отец — инженер-кораблестроитель, погиб во время Великой Отечественной войны; мать — техник-кораблестроитель, умерла в 1992 году.
В 1963 году окончил Ленинградский кораблестроительный институт, в 1977 году — Московский военный институт переводчиков (переводчик-референт), в 1994 году — Северо-Западный кадровый центр при Правительстве Российской Федерации (государственное и муниципальное управление).
Служил в ВМФ, уволился в звании капитана 1-го ранга.
Получая военную пенсию, работал на заводе прессовщиком по пластмассам и слесарем-инструментальщиком, затем — грузчиком магазина № 20 Ленинградской торговой фирмы «Берёзка».
Есть сын Александр.
В 1989 году на повторных выборах при поддержке комитета «Выборы-89» избран народным депутатом СССР от территориального округа 51 (Кировский район), опередив при этом директора Балтийского морского пароходства Виктора Харченко.
Член Межрегиональной депутатской группы. В 1989 году вышел из КПСС.
В 1989—1990 работал на постоянной основе в комитете Верховного Совета СССР.
В августе — декабре 1991 — член Верховного Совета СССР, председатель Комитета по делам Вооружённых Сил.
18 июня 1990 года избран председателем исполкома Ленсовета.
12 июня 1991 года ушёл в отставку в связи с упразднением поста и избранием мэра Ленинграда.
В августе 1991 года А. А. Щелканов вошёл в штаб по организации борьбы с последствиями государственного переворота в Ленинграде.
Руководил независимой общественной некоммерческой «Санкт-Петербургской Миссией по альтернативным предложениям».
Избирался депутатом Законодательного Собрания Санкт-Петербурга как независимый кандидат:
Восемь лет был единственным депутатом, не входившим ни в одну комиссию и фракцию.
В ноябре 2000 года баллотировался на пост Уполномоченного по правам человека Санкт-Петербурга (был выдвинут правозащитными организациями «Мемориал» и «Гражданский контроль»). Набрав 24 голоса при рейтинговом голосовании, вышел во 2-й тур, где при альтернативном голосовании набрал 10 голосов (его соперник — выдвинутый фракцией «Яблоко» Юрий Нестеров тоже не прошёл, набрав 24 голоса).
В 2002 году решил уйти из политики и переехал на Валдай.