Происходит из старейшего среди дворянских родов Замятниных, восходящего к новгород-северскому городовому дворянину Ивану Гавриловичу Замятнину (1634).
Прадед (по матери) — польский князь Михай Косинский.
Бабушка (по отцу) — графиня Вера Николаевна Воронцова.
Отчим — физик-экспериментатор Юрий Лукич Соколов (1915—2006).
Жена — биохимик Татьяна Андреевна Белозерская.
Тесть (умер до замужества дочери) — один из основателей молекулярной биологии в СССР Андрей Николаевич Белозерский (1905—1972).
Сын — биолог, специалист по вирусологии растений Андрей Александрович Замятнин (р. 1976); участник шпионского скандала в Швеции в 2006 году (освобождён за недоказанностью обвинения).
Родился менее чем за год до начала блокады Ленинграда во время Второй мировой войны. Отец ушёл в ополчение и вскоре погиб. Мать с Сашей должны были эвакуироваться из Ленинграда на поезде в конце августа 1941 года, но из-за давки не смогли сесть на поезд, который оказался последним и был уничтожен в результате бомбёжки (немцы захватили железную дорогу, ведущую на восток). Выжил во время блокады благодаря соку из картофельных очисток, которые приносила из гарнизонной столовой знакомая матери. Результатом блокады стала дистрофия. В 1947 году мать вышла замуж за физика Юрия Лукича Соколова, и семья переехала в Москву. Отчим был выдающимся физиком-экспериментатором, работавшим с И. В. Курчатовым, и в их доме кроме самого Курчатова бывали И. К. Кикоин, Г. И. Будкер, М. А. Леонтович, В. М. Галицкий. В том же году 1947 году у Замятнина обнаружился абсолютный музыкальный слух, и он поступил в Гнесинское училище, где его обучение курировала Елизавета Михайловна Гнесина. До седьмого класса из-за постоянных болезней учился дома. Общеобразовательную школу окончил с золотой медалью. В поступлении на физический факультет МГУ, куда он стремился, Замятнину было отказано из-за слабого здоровья. В 1958 году без особых усилий поступил на механико-математический факультет, самостоятельно выведя формулу на вступительных экзаменах. Благодаря усилиям И. К. Кикоина, который несколько раз обращался к А. Н. Колмогорову, Замятнин был переведён на физический факультет, но до третьего курса был вынужден учиться одновременно на двух факультетах. Окончил физический факультет в 1964 году. В 1964—1965 гг. работал старшим лаборантом Института атомной энергии им. И. В. Курчатова. В 1965—1968 гг. учился в аспирантуре факультета молекулярной и химической физики Московского физико-технического института (руководитель Д. А. Франк-Каменецкий). В 1962—1969 гг. был слушателем Школ по теоретической биологии (руководитель Н. В. Тимофеев-Ресовский). В 1968 году был привлечён С. Э. Шнолем к работе в Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН в Пущине, где работал до 1982 года. В 1971 году защитил кандидатскую диссертацию по биофизике. 26 июня 1974 года познакомился в Пущине с биохимиком Татьяной Белозерской и женился на ней в в начале ноября того же года. В 1976 году в этом браке родился сын Андрей. В 1977—1990 гг. был председателем оргкомитета Всесоюзной Школы молодого биолога (проведено 7 Школ по различным актуальным темам современной физико-химической биологии в 7 республиках бывшего СССР). В 1982—1993 гг. работал старшим научным сотрудником Института нормальной физиологии имени П. К. Анохина АМН СССР (РАМН). В 1991 году защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора биологических наук по специальности «физиология человека и животных». С 1993 года — ведущий научный сотрудник, главный научный сотрудник Института биохимии им. А. Н. Баха РАН. В 1999 году присвоено звание профессора. Читал лекции в Германии, США, Швейцарии, Южной Корее, Чили. Председатель научного совета РАН по геофизической биологии. Последние несколько лет занимается научными исследованиями в Чили, направленными на улучшение качества чилийских вин.
Научные интересы: компьютерная биохимия эндогенных олигопептидов, компьютерные базы данных о структуре и функциях физиологически активных веществ, физико-химические основы механизмов взаимодействия физиологически активных веществ с рецепторами, биосенсоры, геофизическая биология.