Отец Александра Бучкури был таганрогским купцом, греком турецкого подданства. С раннего детства мальчик жил в доме отчима А. И. Михельсона, человека интеллигентного, поощряющего стремления будущего художника к рисованию.
В 1906 году Александр Алексеевич обвенчался в Троицком Смоленском соборе в Воронеже с Вассой Иосифовной Епифанцевой, дочерью воронежского купца
Учился в Воронежской бесплатной рисовальной школе (1893-97, у М.И. Пономарева, Л.Г. Соловьева), петербургской школе М.К. Тенишевой (1898-99), окончил Петербургскую Академию Художеств(1904; дипломная работа – «Смерть Дмитрия Самозванца»).
Ученик И.Е. Репина. В 1907 вернулся в Воронеж.
Преподаватель в Воронежской бесплатной рисовальной школе (с 1909), Свободных художественных мастерских (1919-22), Художественно-промышленном изотехникуме (1923-29).
В 1920-е гг. один из организаторов филиалов Ассоциации художников революционной России и ОМАХР в Воронеже.
В 1933 г. Бучкури был одним из активных участников по организации "Союза художников ЦЧО", сплотившей художественные силы Воронежа, Орла и Курска, и от Воронежа входил в президиум правления "Союза".
В 1942 году, в период временной оккупации Воронежа, Александр Алексеевич Бучкури погиб от рук фашистских захватчиков. Одна из жительниц города, знавшая художника, рассказывает, что в конце лета (в июле-августе) 1942 года группа воронежцев была приведена оккупантами в район Красноармейской улицы. В этой группе находился и Александр Алексеевич со своей женой, которую он поддерживал под руку. Высокий, в сером плаще, он очень выделялся в толпе. Вскоре все были расстреляны.
Есть и другие версии гибели художника. Некоторые воронежцы утверждают, что он был расстрелян в конце улицы Кольцовской. Другие утверждают, что художник Бучкури и его жена были расстреляны фашистами во дворе комендатуры на улице 9 Января 5 августа 1942 года. Вместе с ними были уничтожены два брата Вассы Иосифовны, а также музыкант Левинсон.Очевидцы утверждают, что долгое время во дворе комендатуры, среди кучи мусора, рвался и трепетал на ветру диплом Академии художеств, выданный Бучкури
Премия им. А.И. Куинджи(1905)
И.Е.Репин писал о Бучкури: "…он отличный художник, и я горжусь таким моим бывшим учеником".
Именем Бучкури названа улица в Воронеже.
Основные произведения: «Крестьянки» (1902, ГРМ), «Похороны» (1905, премия им. А.И. Куинджи, Одесский художественный музей), «Прачки» (1908), «Свадебный поезд» (1913, ВОХМ), «Автопортрет с семьей» (1915), серии портретов крестьянок (1910-16).«Завтрак на сенокосе» (1933), «Чаепитие» (1933), «У цирка» (1936), «Вывод» (1936), «Амазонки» (1937), «Автопортрет» (1941).