Родился 24 мая 1935 года Москве. В 1953 году окончил школу № 144 (ныне № 1384 имени Леманского) с золотой медалью. После окончания школы поступил в МФТИ, который окончил в 1959 году, получив диплом с отличием. С 1956 года работал в НПО «Алмаз». В НПО возглавлял работы по разработке антенных систем для ЗРК С-300ПМУ, С-200ДЭ, С-300ПМУ1, разработку комплексов ЗРК С-300ПМУ1 и С-300ПМУ2.
В 1964 году защитил кандидатскую диссертацию по результатам исследований в области дифракции на слабо рассеивающих (так называемых «чёрных») телах, предвосхитив появление слабозаметных воздушных целей, что в дальнейшем позволило успешно решить задачу перехвата таких целей.
В 1986 году был назначен начальником ОКБ — главным конструктором систем. В 1998 году — генеральным конструктором НПО «Алмаз». Под его руководством была разработана новая ЗРК С-400 «Триумф».
Александр Леманский скончался 27 сентября 2007 года от сердечной недостаточности на полигоне «Капустин Яр».
При непосредственном участии А. А. Леманского получены фундаментальные научно-технические результаты, изложенные более чем в 150 научно-технических работах, в том числе в 4 монографиях и 40 авторских свидетельствах на изобретения. Под его руководством 13 аспирантов кафедры «Радиолокация, радиоуправление и информатика» факультета радиотехники и кибернетики МФТИ защитили кандидатские диссертации. Член редколлегии журнала «Антенны».
Согласно распоряжению мэра Юрия Лужкова в 2010 году имя Леманского было присвоено московской школе № 1384, в которой он учился с 1950 по 1953 годы.