После окончания гимназии в Пензе поступил в Петербургскую медико-хирургическую академию, по окончании которой уехал в 1840 году в Пекин в статусе полномочного представителя России в Китае. В качестве врача русской духовной миссии пробыл там до 1850 года.
Хорошо владея китайским языком, изучал китайскую медицину. Составил атлас китайских лекарственных растений с собственными рисунками. После публикации результатов его исследований был удостоен степени доктора медицины.
В 1850 году, вернувшись в Петербург, работал переводчиком в Министерстве иностранных дел, затем снова был отправлен в Китай.
В 1851 год Татаринов был назвачен первым русским консулом в Чугучаке. Принимал активное участие в составлении договора с китайским правительством об уступке Китаем России северного берега реки Амур.
После выхода в отставку в чине статского советника Татаринов жил в Пензе. Он служил мировым судьёй и состоял членом Пензенской городской думы.
В честь Александра Алексеевича Татаринова назван один из китайских видов аира — Аир Татаринова (Acorus tatarinowii Schott).