Футболом начал заниматься в черниговской СДЮШОР, куда его привёл, во втором классе, старший брат Олег. Первый тренер- Валерий Никифорович Подгорный.После окончания спортшколы выступал в любительских командах на первенство Черниговской области. Там его приметил Семён Осиновский, который тренировал ФК «Черкассы» и пригласил в свою команду. К этому времени, там уже играл его старший брат Олег. Черкащане неплохо играли и претендовали на выход в высшую лигу. Вскоре Александру поступило несколько предложений, о продолжении карьеры, от клубов из России и днепропетровского «Днепра».Игрок выбрал украинский клуб и в 2000 году перебрался вместе со своим братом в Днепропетровск. В высшей лиге дебютировал в марте 2000 года, в матче «Днепр» — «Кривбасс».В днепропетровском клубе прошли, пожалуй, лучшие годы его карьеры. Там он дважды становился призёром чемпионата, играл в финале Кубка Украины, выступал в еврокубках, получил вызов в сборную Украины, где дебютировал 22 августа 2007 года, в товарищеском матче со сборной Узбекистана.После восьми сезонов в днепропетровском клубе, в 2009 году перешёл в «Кривбасс». Отыграв второй круг в его составе, откликнулся на предложение тренера киевского «Арсенала» Александра Заварова, перейти в столичный клуб. В новом клубе, успешно закрепился в основном составе.
В январе 2012 года, по истечению срока контракта, несмотря на то что Александр стабильно играл в основном составе, продлевать соглашение с 34 летним опорным полузащитником руководство киевского клуба не стало, после чего Грицай принял приглашение от «Зари», подписав с луганским клубом двухлетний контракт.
Закончил Днепропетровский государственный институт физической культуры в 2008 году.
С женой Ириной, познакомились на дне рождения футболиста Сергея Косилова. Воспитывают сына Олега и дочь Машу.