Мастер спорта международного класса (1986). Заслуженный мастер спорта СССР (1986).
Окончил Луганский педагогический институт.
Воспитанник ворошиловградской (луганской) детско-юношеской школы олимпийского резерва «Заря». Первый тренер — Борис Васильевич Фомичев. В раннем возрасте выделялся среди одногодков филигранными и нестандартными приемами и импровизацией на поле. Вместе с местной СДЮШОР дважды выходил в финал всеукраинского турнира «Кожаный мяч» (оба раза завоёвывая лишь «серебро»).
Талантливого парня в 1977 году заметил Йожеф Сабо — наставник «Зари» и сразу пригласил выступать за «дубль» команды. 27 апреля 1979 года Заваров дебютировал за клуб в высшей лиге чемпионата СССР на тбилисском стадионе «Динамо» в игре с «Динамо» (Тбилиси) — он вышел на вторые 45 минут и по итогам матча был признан лучшим игроком!
В первом профессиональном сезоне 18-летний юноша забил 7 голов, выступая на позиции нападающего. Заварова пригласили в юношескую сборную СССР, которая в том году завоевала «серебро» на чемпионате мира в своей возрастной категории, который проходил в Японии. Вместе с Александром там начинали свой путь в большом футболе Виктор Чанов, Сергей Краковский, Виктор Янушевский, Игорь Пономарев, Игорь Гуринович и Олег Таран. Команда выступила успешно, уступив только в финальном матче команде Аргентины, за которую играли небезызвестные Рамон Диас, Хуан Барбас и Диего Марадона.
Затем были два года «службы» в ростовском СКА, который Заваров выбрал по двум причинам — недалеко от Луганска (в отличие от Москвы) и наличие в составе СКА экс-луганчан братьев Кузнецовых, Сергея Андреева, Валерия Зуева. В армейском клубе талант Заварова начал раскрываться по-новому. В паре с бомбардиром Сергеем Андреевым они стали одними из лучших забивающих в чемпионате СССР.
Лучшим достижением стала победа в Кубке СССР в 1981 году. В финале СКА играл против московского «Спартака» и за несколько минут до окончания основного времени счёт не был открыт. На 84-й минуте Александр Заваров после хитрого финта отдал пас Сергею Андрееву, и лучший бомбардир ростовчан тех лет забил решающий гол. Команда стала обладателем Кубка СССР по футболу.
Между тем, по признанию тренеров СКА, Заваров не отличался дисциплиной — часто позволял себе нарушать режим (вместе с Игорем Гамулой), был своенравен. За это неоднократно наказывался, в том числе, 10 сутками гауптвахты.
Тем не менее, пребывание в СКА было судьбоносным для Заварова. Один из тренеров СКА, Герман Зонин, видя, что на позиции на нападающего Заваров уже не так хорош, предложил ему оттянуться в полузащиту и вести игру из середины поля. С 1980 года стал играть «под нападающими», стараясь снабжать хорошими передачами форвардов Андреева и Воробьева. Как признавался Александр, «и мне действительно стало полегче: отбегал назад, получал мяч, все время был в игре — не ждал паса, а, наоборот, делал передачи партнерам».
Следующий год атакующий полузащитник снова провёл в «Заре», которая переживала не лучшие времена, выступая в первой лиге. Заваров в том сезоне забил 10 голов в 30 играх. Перспектив в «Заре» у него не было, поэтому сами руководители «Зари», а именно Виктор Кузнецов, позвонил в Киев Михаилу Фоменко с предложением взять себе Заварова. Через день за ним приехали и забрали в «Динамо».
В 1983 году Заваров перешёл в самый сильный клуб Украины — киевское «Динамо». Первоначально дела в команде шли плохо — в состав ставили мало. В 1984 году Заваров рассматривал возможность перехода в «Спартак»: беседовал с Константином Ивановичем Бесковым по телефону. Тем не менее, Лобановский переубедил юного футболиста, дал гарантии, что он будет играть постоянно.
Обещания Лобановский исполнил и уже с 1985 года — Заваров среди основных игроков «Динамо». В команде он действовал на позиции связующего игрока между средней линией и линией нападения. Его партнёрами в полузащите были одни из лучших футболистов СССР — Василий Рац, Иван Яремчук и Павел Яковенко. Заваров показывал виртуозную технику и стабильную результативность и сразу стал не только футболистом основного состава, но и одним из ключевых игроков. Своими точными пасами он снабжал линию атаки: Олега Блохина, Вадима Евтушенко, Игоря Беланова.
В 1985 году он впервые стал чемпионом СССР. В киевском «Динамо» Валерий Лобановский создал коллектив, который стал основой и фундаментом сборной. Поэтому уже 7 августа 1985 года Заваров впервые вышел на поле в составе главной сборной СССР (матч СССР — Румыния — 2:0).
В первые месяцы 1986 года «Динамо» сосредоточилось на борьбе в Кубке обладателей кубков, где уверенно разгромило венский «Рапид» (4:1 и 5:1) и пражскую «Дуклу» (3:0 и 1:1). В финале 2 мая 1986 года «Динамо» разгромило мадридский «Атлетико» — 3:0. Счет открыл Заваров — на 5-й минуте он переправил головой мяч в ворота, после того как удар Беланова отбил голкипер.
На чемпионат мира 1986 года в Мексике Александр Заваров поехал как один из игроков, кому место в стартовом составе было гарантировано. Он сыграл во всех 4 играх и забил 1 мяч.
Ещё одной звездной игрой в 1986 стало выступление против сборной Франции на «Парк де пренс». Заваров выдал два блестящих по исполнению голевых паса Рацу и Беланову, чем покорил зрителей, СМИ и тренеров.
В 1986 году «Золотой мяч» получил динамовец Игорь Беланов, а Заваров разделил 7-8 места с валлийцем Ианом Рашем из «Ливерпуля»). Советские журналисты и специалисты в том же 1986 году лучшим игроком СССР признали именно Заварова. Александр Заваров включался в рейтинг-лист France Football ещё 3 года подряд.
В 80-е Заваров дважды играл за сборную мира — в 1988 в Нанси против сборной Франции в прощальном матче Платини (приглашен лично Платини) и в Англии на столетии английской лиги.
После прекрасного выступления советской сборной на чемпионате Европы 1988 года спрос на футболистов из «Страны Советов» значительно возрос. Когда «перестройка» коснулась футбола и игрокам позволили переходить в заграничные клубы, одним из первых уехал Заваров.
Рассматривались два варианта — «Барселона» и «Ювентус». Большую трансферную сумму предложили итальянцы, поэтому Заваров поехал к ним. Решение было принято компанией «Совинтерспорт», которая в 80-90-е годы занималась всеми делами спортсменов. Заваров против такого варианта был не против .
Туринский «Ювентус» заплатил за полузащитника «Динамо» $5 млн: 2 млн направились в казну «Динамо», 2 млн — Госкомспорту и 1 млн государству. Согласно контракту, большая часть гонорара Заварова шла в «Совинтерспорт», а самому Заварову назначили стипендию в $1,2 тыс. в месяц. Так продолжалось 3 месяца, после чего клуб помог киевлянину пересмотреть условия контракта. «Ювентус» же помимо денег, подарил киевлянам три машины «Фиат» разных годов выпуска, отремонтировал за свои средства тренировочную базу «Динамо».
Дебютировал в кубковом матче против «Асколи» 14 сентября 1988. Полностью игру не провел, был заменен тренером Дзоффом.
Заваров пришёл в итальянский клуб в период, когда команду покинули многие ключевые фигуры: защитники Гаэтано Ширеа, Антонио Кабрини и известный датский полузащитник Микаэль Лаудруп. Когда завершил карьеру Мишель Платини — легендарный французский плеймейкер команды, каждого полузащитника, в том числе и Заварова, болельщики рассматривали как возможную замену выдающемуся французу (Платини в том числе рекомендовал тренерам «Ювентуса» вместо себя на позицию плеймейкера именно Александра Заварова).
Однако, разобравшись в деле, главный тренер команды Дино Дзофф поставил Заварова на левый фланг полузащиты, откуда он должен был подавать мячи нападающим: сначала Алессандро Альтобелли, а впоследствии Сальваторе Скилаччи.
Летом 1989 Заваров должен был покинуть клуб, но поскольку «Ювентусу» не удалось купить бразильца Дунгу из «Фиорентины», то он был оставлен в команде. 2-й сезон в клубе он начал вместе с соотечественником — Сергеем Алейниковым.
В Серии «А» в конце 1980-х и в начале 1990-х доминировали «Милан», «Интер», «Сампдория» и «Наполи». «Ювентус» же достиг успеха в розыгрыше Кубке УЕФА 1990 года, переиграв в двухматчевом финале «Фиорентину». Заваров в финальных играх участия не принимал.
По мнению игравшего вместе с Заваровым в «Ювентусе» Сергея Алейникова, Александру помешали раскрыться ещё и психологические причины: «Заваров по своему характеру не слишком любил общаться, в том числе с журналистами. Отрабатывал тренировку — и домой. В Италии с таким подходом проблемы, увы, были неизбежны. А третья причина — это мое предположение. Человек годами привык работать в режиме двухразовых тренировок, все время находиться в команде, почти не бывать дома. Здесь, когда тренировка в день лишь одна и нет никаких сборов, появилась куча свободного времени. Для семьи, наверное, это было хорошо, но самому Заварову, допускаю, перестроиться оказалось сложно».
Кроме того, Заваров довольно часто вступал в конфликты с руководством команды, непосредственно с президентом Аньелли. Советский футболист не забивал так много голов, как Платини, и руководство клуба было не совсем довольно новичком. На это он отвечал взаимными колкими выражениями.
В начале 1990 Дзофф перестал использовать Заварова на левом фланге, из-за чего Александр сник и потерялся на поле. На следующий сезон «Ювентус» не намерен был оставлять футболиста в команде.
По совету Мишеля Платини, с которым Заваров познакомился в Турине, бывший киевский динамовец решил поехать завершать футбольную карьеру во французской команде «Нанси», где в свое время начинал свой футбольный путь француз. Платини сам на личном самолете прилетел за Заваровым в Турин и забрал во Францию.
В команде был ведущим игроком команды, был образцовым футболистом для молодых партнеров. Сам Заваров, понимая, что уже не будет других предложений от топ-клубов, решил, что во Франции и закончит карьеру. Поэтому после вылета клуба из высшей лиги, никуда не ушел.
По уверению президента «Нанси» Жака Парантена, в команде за Заваровым закрепилась кличка «blette» (с французского — свекла), поскольку Заваров часто произносил это слово, когда кто-то из партнеров (или он сам) ошибался на поле.
После 5 сезонов игры за «Нанси» в высшем и втором дивизионах Франции, Александр Заваров перешёл в полулюбительскую команду «Сен-Дизье» из одноименного города (в 100 км от Нанси), где работал в должности играющего тренера (к этому времени уже закончил школу тренеров).
В первый сезон (1995/96) решился вложить деньги в бизнес — открыл бар. Однако к весне 1996 понял, что бизнесу надо отдаваться также, как и футболу, поэтому бар в итоге закрыл.
В «Сен-Дизье» на поле выходил только в случае крайней необходимости, действовал на позиции «либеро».
Тренерскую деятельность Александр Заваров начал во Франции. Два года работал с «Сен-Дизье», но уже не играл. При Заварове клуб вышел из пятого дивизиона в четвёртый, однако только на один сезон.
В 2001 вернулся в «Нанси». Президент «Нанси», из уважения к тому что шесть лет отдал его клубу, предоставил возможность работать в команде. Начал с десятилетних ребятишек, потом взял команду постарше, затем и до молодежки дорос.
Во Франции Заваров получил тренерскую лицензию, которая позволяла ему быть главным тренером в любом дивизионе, кроме первого.
Первым профессиональным клубом в его тренерской карьере стал швейцарский «Виль» (где однако тренерская лицензия не пригодилась — швейцарская федерация футбола не признавала лицензий, выдаваемых французской федерацией). Контрольный пакет акций клуба как раз выкупили бывшие футболисты Игорь Беланов и Геннадий Перепаденко и пригласили Александра Заварова на должность наставника команды в августе 2003 года.
За два сезона Александр Заваров не только вывел провинциальную команду в высший дивизион швейцарского футбола, но и выиграл Кубок Швейцарии. Завистники успехов Заварова и Беланова поспешили обвинить в столь громком успехе русскую мафию, которая якобы подкупила судей на пути к успеху в Кубке. Началась настоящая травля в прессе и оскорбленный Заваров принял решение покинуть команду. После ухода Заварова команда практически развалилась в одночасье за один сезон и заняла лишь последнее, 10 место в швейцарской высшей лиге.
Далее в карьере Заварова были краткие периоды работы в казахском «Женисе» и харьковском «Металлисте».
В Казахстане в 2004 году Заваров оказался с подачи Эме Жаке. Он руководил подготовкой тренерских кадров в общенациональном масштабе. Казахстанская федерация футбола обратилась к французам с официальной просьбой прислать тренера для «Жениса». Когда письмо оказалось в руках у Жаке, он предложил кандидатуру Заварова: русскоязычный тренер с французск