Александр Андреевич Коробков родился 20 июня 1897 года в городе Петровске ныне Саратовской области. Русский.
В царской армии с 1915 года. В 1916 году окончил Оренбургскую школу прапорщиков. Во время Первой мировой войны командовал взводом на Юго-Западном фронте. В Красной Армии с августа 1918 года. Участник Гражданской войны. В 1922 году окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе. С 1924 года командир стрелкового полка, с 1931 года начальник штаба 95-й стрелковой дивизии. В 1936 году А.А. Коробков назначен командиром 100-й стрелковой дивизии, в мае 1939 года — командиром 16-го стрелкового корпуса, а в январе 1941 года — командующим 4-й армией.
В своих воспоминаниях бывший начальник штаба 4-й армии Л.М. Сандалов писал :
В начале Великой Отечественной войны 4-я армия приняла на себя первый удар 2-й танковой группы вермахта. Практически сразу оборона армии была прорвана и немецкие войска устремились вглубь советской территории. 30 июня, по другим данным 8 июля, за потерю управления войсками, нерешительность и бездействие А.А. Коробков был отстранён от командования и арестован.
22 июля 1941 года решением Военной коллегии Верховного Суда СССР А. А. Коробков был лишён воинского звания, наград и приговорён к высшей мере наказания. В тот же день он был расстрелян.
После смерти Сталина 31 июля 1957 года решением Военной коллегии Верховного Суда СССР А. А. Коробков был посмертно реабилитирован «за отсутствием состава преступления», восстановлен в воинском звании и правах на награды.