Родился 11 мая 1788 года в Санкт-Петербурге.
В 1799 году поступил в Училище корабельной архитектуры, где с особенной охотой занимался математикой, сделавшейся впоследствии его любимым предметом.
В 1805 году, окончив училище, Попов был произведен в драфцмана XIV-го класса и был оставлен при училище в качестве преподавателя начальных основ математики в низших классах.
1 марта 1810 года был произведен в помощники корабельных мастеров XII-го класса.
С 1814 по 1820 годы находился при Астраханском порте, заведуя строительством судов.
C 1821 по 1824 годы управлял Охтенской верфью и построил несколько кораблей, продолжая строить и после, будучи в звании корабельного мастера, которое получил 1 ноября 1823 года за прекрасное выполнение кораблестроительных работ, с полным окладом жалованья.
Затем Попов перешел на службу в новое адмиралтейство, где построил большой деревянный крытый эллинг и в нем пять 81-пушечных кораблей.
22 декабря 1826 года был произведён в штабс-капитаны и назначен корабельным инженером Балтийского флота.
В 1827 году, за отличие по службе в новом звании, Попов произведен в капитаны, а 19 октября 1827 года, по окончании постройки крытого дока и по спуску на воду 84-пушечного корабля — получил особенное монаршее благоволение и был произведен в подполковники.
28 ноября 1828 года за отличие по службе Попов получил чин полковника, а 9 февраля 1833 года — был назначен непременным членом Кораблестроительного и Учетного Комитета Балтийского флота в Санкт-Петербурге, не переставая в то же время заведовать постройкой и исправлением кораблей.
В 1832 году состоялось Высочайшее повеление:
Однако в 1837—1838 годах Попов снова работает строителем громадного по тому времени 120-пушечного корабля «Россия» и сооружает в новом адмиралтействе Мортонов эллинг, существующий до сих пор.
В 1837 году Александр Андреевич Попов был произведен в генерал-майоры.
Умер 22 мая (по другим данным 20 мая) 1859 года.
Сын — Попов, Андрей Александрович (1821—1898) — русский морской офицер и кораблестроитель.
Ученым комитетом морского министерства были изданы его сочинения: