Родился и до 16 лет жил в селе Талгар в 20 км от Алма-Аты, куда его родителей в 1949 году выслали из Одесской области. По национальности — грек.
Воспитанник Талгарской футбольной школы — с 1968 года и спортинтерната (Алма-Ата) — с 1971 года. С 1973 года играл в дубле «Кайрата», потом за основную команду. В 1975 году на международном турнире в Ташкенте стал лучшим бомбардиром и был признан сильнейшим нападающим. После турнира к Александру подошёл тренер киевского «Динамо» Михаил Коман и сказал, что его хочет посмотреть Валерий Лобановский.
Однако поскольку Хапсалис был уже в призывном возрасте, потребовались методы конспирации, чтобы перевезти его из Алма-Аты в Киев. Как позже признавался футболист, ему пришлось лететь «под другой фамилией, в парике, в шапке-ушанке».
С 1976 года играл за дубль «Динамо» (Киев), а с 1978 года — за основу. Постепенно стал одним из ведущих игроков команды. В июле 1982 года из-за конфликта с Лобановским покинул команду. В 1983 году стал играть за «Динамо» (Москва), где особых успехов не добился (за исключением победы в Кубке СССР 1984). В сентябре 1985 покинул команду из-за серьёзных разногласий с главным тренером Эдуардом Малофеевым.
Полгода не играл, жил в Киеве. В апреле 1986 года стал выступать за команду 2-й лиги СКА (Киев). Затем играл в «Колосе» (Никополь) — 1987-88, и «Звезде» (Кировоград) — 1989.
Во время выступлений за советские клубы врачи поставили диагноз «порок сердца». В ответ на запрет играть Хапсалис написал бумагу, что если умрет на футбольном поле, то врачи будут не виноваты, и продолжал с успехом выходить на поле.
В 1990 году уехал ко второй жене в Ленинград, где стал играющим тренером в «Кировце». За команду играл до июля 1991 года. В это время жена поехала в Лос-Анджелес на гастроли (она была танцовщицей, солисткой ленинградского мюзик-холла) и осталась учиться в колледже на косметолога. Отучилась, получила право на работу, устроилась в агентство моделей — и вызвала мужа. В конце 1991 года, по окончании сезона, Хапсалис вылетел в США.
В США спустя несколько месяцев ему позвонил из Сан-Диего друг и экс-одноклубник по московскому «Динамо» Александр Головня, который играл в профессиональной мини-футбольной лиге лиге за клуб «Сан-Диего Соккерз». За команду отыграл 1,5 года и стал чемпионом США по мини-футболу в 1993 году. При этом признался позже, что при заключении контракта пошёл на подлог и скинул себе 4 года.
По окончании карьеры взялся за организацию собственной футбольной школы. В настоящее время — владелец и тренер футбольной школы Dynamo Soccer School в Лос-Анджелесе. Работает с детьми (в основном — выходцами из советских эмигрантских семей), доводит их до определенного уровня и отдает в профессиональные юношеские клубы.
Также тренирует две команды в местном клубе и работает футбольным тренером в одной частной школе. Кроме того, подрабатывает частными уроками.
Играет за «Динамо» (Лос-Анджелес), команду выходцев из бывшего СССР.
Резкий, легкий, отлично координированный, обладал высокой стартовой скоростью, смело шёл в борьбу с защитниками, постоянно стремился создать остроту в атаке. Отличался азартом, боевитостью, умел повести за собой партнеров.
1-я жена — Гаяне, профессионально занималась художественной гимнастикой, работала хореографом у Альбины Дерюгиной, от брака — двое взрослых детей. Женат 2-й раз.
В еврокубках — 19 матчей, 5 голов.