В 1982 году — окончил ММИ. Работал врачом, участие в художественной самодеятельности
Позже — солист эстрадного оркестра ДК Белсовпрофа.
С 1987 года — солист Государственного концертного оркестра Беларуси.
1989 год — начата работа солистом театра песни Ядвиги Поплавской-Александра Тихановича.
1991 год — начало сольной карьеры, выступление с группой «Карусель». Песни: на русском и белорусском языках, стилистика: шлягерная песня.
Принимает участие в теле- и радио передачах, выступает с концертами в странах СНГ.
В 1995 году приехал в Россию. Вышел альбом «Здравствуй, чужая милая». На одноимённый хит, являющийся ремейком (он исполнялся разными артистами ещё в советское время) был снят клип, попавший в программу Доброе утро, страна!. Но затем начались какие-то проблемы, и вскоре Солодуха вернулся в Минск.
В конце девяностых певец опять появился в России и начал сотрудничать с Александром Морозовым. В октябре 1999 года был снят клип на песню «Калина». Ротация на российских телеканалах, в том числе на России («Доброе утро, страна!»).
3 июля 2000 года вышел альбом «Калина, калина», имевший хороший спрос в России. Но уже 8 июля Солодуха опять уехал в Белоруссию. Песни «Калина», «Обнимала, не любила» и «Плыть, плыть, плыть» перешли в репертуар Братьев Радченко.
В 2005 году — презентация альбома «Сотни километров до любви» (вошли композиции прошлых лет и новые песни). Песня «Виноград» попала в ротацию Дорожного радио.
20 сентября 2007 в Витебском летнего амфитеатре состоялся сольный концерт (сотый концерт в рамках тура по городам Белоруссии в поддержку альбома в 2007 году) Александра Солодухи «Сотни километров до любви», посвященный 20-тилетнему юбилею концертной деятельности артиста.
В 2010 году вышел альбом «Ты для меня сбылась» с клипом на заглавную композицию.
В 2011 году вышел фильм об Александре Солодухе «Дочки моей глаза». В кадры фильма попал Стас Михайлов, который также сотрудничал с Солодухой как автор (песни «Тебе, любимая»). В том же году Солодуха снова приехал в Россию и записал альбом. 11 ноября он был выпущен.
Альбом был встречен смешанной рецензией Ильи Малиновского, который отметил, что хитов вроде «Чужой милой» и «Винограда» на диске нет. Материал слишком похож на песни из предыдущих альбомов. Положительно охарактеризовал музыку (кроме, конечно, песни Михайлова) и аранжировки: «Настолько непредсказуемые музыкальные ходы мог написать только один из самых знаменитых композиторов страны» (белорусский композитор Олег Елисеенков). Критике подверглись тексты песен. По мнению Малиновского, они самые типичные, но искреннее и даже наивное исполнение Солодухи вносит в них определённый смысл. Крайне негативно журналист отозвался о тексте песни «Памяти В.Мулявина». То, что этот текст был указан как народный, по мнению Малиновского, означает, что автор просто «спрятался» «из-за стыда» за свою бездарность .
Лауреат «Песни года Украины 2004» (с песней «Здравствуй, чужая милая»)
Альбомы: