Родился 1 (13) июня 1804(18040613) года. Отец — генерал-лейтенант Аркадий Александрович Суворов погиб при переправе через реку Рымник 13 апреля 1811 года. Мать — Елена Александровна Нарышкина.
После безвременной кончины отца, мать отдала восьмилетнего Александра в иезуитский пансион в Петербурге, где он воспитывался, следуя моде того времени, с сыновьями других русских аристократов. Через три года, в связи с изменившимся отношением к иезуитам, дядя его, Кирилл Александрович Нарышкин (сам воспитанник иезуитов) забрал мальчика к себе. Для продолжения воспитания Александра были приглашены лучшие учителя. Его мать Елена Александровна, проживавшая во Флоренции, пожелала иметь сына рядом с собой. Это послужило причиной переезда в Италию. На тринадцатом году жизни князь Александр был помещен в школу знаменитого швейцарского педагога Фелленберга в Гофвиль, около Берна. Здесь Александр пробыл пять лет, в совершенстве овладев несколькими иностранными языками, а также занимаясь историей и изучением естественных наук.
После уехал в Париж, когда ему исполнилось восемнадцать лет, недолго обучался в Сорбонне, а закончил образование в Гёттингенском университете. Несомненно, что влияние на формирование мировоззрения молодого Суворова оказала продолжительная жизнь за границей и знакомство с течениями западноевропейской мысли. Так, например, учась в Гёттингене он вступает в 1825 году в члены студенческой корпорации Корпус Курония VII Гёттинген.
В 1824 году вернулся в Россию, зачислен юнкером в лейб-гвардии конный полк. Корнет с 1 января 1826, с 14 декабря 1825 — эстандарт-юнкер. Проходил по делу декабристов, был арестован, но вскоре освобождён.
Участвовал в персидской кампании. Отличился при осаде и взятии крепости Сардарабад, был произведён в поручики, награждён орденом св. Владимира 4 ст. с бантом и золотой шпагой с надписью «За храбрость».
С 1828 г. флигель-адъютант Николая I. Участник русско-турецкой войны 1828—1829 годов, во время которой находился при особе Государя. Здесь он участвовал в сражении под Шумлой, в осаде Варны, взятии крепости Исакчи, в сражении при Буланлыке, лично принял капитуляцию небольшой крепости Мачин. За боевые заслуги произведён в штабс-ротмистры, награждён орденом св. Анны 2 ст.
В Петербурге Александр Аркадьевич Суворов был временно прикомандирован к лейб-гвардии Конному полку для изучения строевой службы. Участвует в подавлении польского восстания 1830 года, отличился в ряде боёв, в том числе в штурме Варшавы, был отправлен парламентёром для переговоров о сдаче. Заступивший на пост главнокомандующего после смерти фельдмаршала Ивана Дибича фельдмаршал Иван Паскевич командирует его в Петербург с посланием о победе. Александра Аркадьевича принял император Николай I, воспели в стихах Пушкин и Жуковский.
В 1831—1832 годах командир гвардейского батальона, в 1839—1842 командир Фанагорийского гренадерского полка, затем командир бригады; с 30 августа 1839 года — генерал-майор свиты, с 25 июня 1846 — генерал-адъютант. В 1847—1848 годах костромской губернатор, в 1848—1861 годах генерал-губернатор Прибалтийского края и военный губернатор Риги. Входил в Остзейский комитет по реформе землевладения в Остзейском крае.
В 1854 г., с началом войны с англо-французской коалицией, Суворов был назначен командующим войсками Рижской губернии. За успешное руководство войсками края во время войны, в апреле 1855 г. пожалован в кавалеры ордена св. Александра Невского. В сентябре 1859 года был произведён за отличие в генералы от инфантерии, а в 1860 — назначен шефом Ряжского пехотного полка.
С 23 апреля 1861 года член Государственного совета, с 18 октября 1861 года — санкт-петербургский военный генерал-губернатор. Должность была упразднена в 1866 году после покушения Каракозова на Александра II. Назначен генерал-инспектором всей пехоты, и в этой должности оставался до самой смерти. На государственных должностях проявил себя как либеральный политик, что создало ему популярность среди студенческой молодёжи, но вместе с тем он приобрёл и видных противников в среде высшей администрации.
Гуманный внук воинственного деда,
Простите нам, наш симпатичный князь,
Что русского честим мы людоеда,
Мы, русские, Европы не спросясь!..
Как извинить пред вами эту смелость?
Как оправдать сочувствие к тому,
Кто отстоял и спас России целость,
Всем жертвуя призванью своему
..................................
Так будь и нам позорною уликой
Письмо к нему от нас, его друзей!
Но нам сдается, князь, ваш дед великий
Его скрепил бы подписью своей.
В апреле 1863 г. Суворов был удостоен ордена Андрея Первозванного. Во время русско-турецкой войны 1877—1878 годов. Александр Аркадьевич находился при Александре II. В последний период жизни был президентом Вольного экономического общества, председателем попечительского совета заведений общественного призрения, почётным членом Демидовского дома трудящихся, почётным членом Академии наук, действительным членом Императорского человеколюбивого общества, председателем российского общества покровительства животных и пр. Избран почётным гражданином городов Рыбинска, Тихвина, Новой Ладоги, Боровичей и почётным мировым судьёй Петергофского и Московского уездов.
После убийства 1 (13) марта 1881 года императора Александра II именно А. А. Суворов вышел к собравшемуся у Зимнего дворца народу и сообщил о кончине Государя.
Умер 31 января (12 февраля) 1882 года. Похоронен в Троице-Сергиевой пустыни.
Жена с 1830 года — Ярцева Любовь Васильевна (1811—1867). Дети:
1849—1868 — Большая Морская улица, 47.