Родился в семье военного. Когда Саше исполнилось три года, родители развелись, мама, он и старший брат переехали из Сахалина в Ригу, где Лидия Николаевна вопреки желанию сына (хотел быть военным) отдала его в 1958 году в Рижское хореографическое училище.
Училище окончил в 1967 по классу педагогов Ю. Капралиса и А. Экиса. В 1967—1971 год Годунов танцевал в Государственном хореографическом ансамбле «Классический балет» («Молодой балет»), под управлением Игоря Моисеева.
С 1971 — в балетной труппе Большого театра.
Лауреат (золотая медаль) Московского международного конкурса артистов балета в 1973 г. Заслуженный артист РСФСР (1976). Лауреат премии Вацлава Нижинского (Париж).
Роли, исполненные Александром Годуновым в труппе Большого театра:
23 августа 1979 года во время гастролей Большого театра в Нью-Йорке, 29-летний Годунов обратился к американским властям с просьбой о предоставлении политического убежища. После известия о его отсутствии советские власти отправили жену Годунова — Людмилу Власову, единственную из труппы, на самолёте в Москву. Однако самолёт был задержан американскими властями прямо перед взлётом, и Государственный департамент потребовал предоставить доказательства того, что Власова возвращается в СССР добровольно.
В этот трудный для Годунова период он несколько дней прожил в доме друзей Иосифа Бродского. В течение года Годунов безуспешно пытался добиться возвращения жены. Эта пара стала известна как «Ромео и Джульетта» холодной войны. В 1982 году был оформлен их развод.
Годунов был принят в труппу Американского театра балета, где выступал как ведущий танцовщик. В 1982 году контракт с театром не был продлен из-за разногласий с руководителем труппы Михаилом Барышниковым.
Среди ролей в фильмах: фермер-амиш в фильме «Свидетель» в 1985, экспрессивный дирижёр оркестра в фильме «Денежная яма», 1986, Карл, террорист в фильме «Крепкий орешек», Скарабис, средневековый тиран, в фильме ужасов «Музей восковых фигур 2: Затерянные во времени» в 1992. Последняя роль актера — экстравагантный террорист-химик Лотар Красна, мечтающий поработить мир, была сыграна им в боевике 1995 года «Зона».
Долгое время поддерживал близкие отношения с киноактрисой Жаклин Биссет.
18 мая 1995 года его друзья заметили отсутствие телефонных звонков от Годунова, что было для него нехарактерно. В его дом на Шорхэм Тауэрс (Уэст-Голливуд, Калифорния) послали медсестру, которая и нашла его мертвым. Ему было 45 лет.
Не было сразу установлено, как долго он пролежал мертвым, друзья заявили, что ничего не слышали о нём, начиная с 8 апреля 1995 года. По утверждению врачей, смерть была вызвана злоупотреблением алкоголем вкупе с осложнением хронического гепатита. Однако на теле не обнаружили ни следов насилия, ни травм, ни признаков алкоголя или наркотиков в крови.Время смерти приблизительно 22-00 по московскому времени.
Что же именно произошло и каковы причины смерти Александра Годунова до сих пор остается неизвестным для общественности.
В заявлении, опубликованном вскоре после его смерти, личный публицист Годунова, Эвелин Шривер сказала: «У него не было СПИДа, он не совершал самоубийства. Это время было одним из самых счастливых периодов его жизни…»
Прах Годунова был развеян над Тихим океаном, его мемориал находится в Лос-Анджелесе. Эпитафия на могиле гласит: «His future remained in the past» («Его будущее осталось в прошлом»).
На Введенском кладбище Москвы находится кенотаф актера. Эпитафия на нём: «Ты всегда с нами».