Александр Борисович Кусиков родился 17 сентября 1896 года в Армавире в многодетной армянской семье.
Окончил гимназию в станице Баталпашинской Кубанской области. В 1915 году призван на военную службу.
Нёс службу в Северском драгунском полку. Был ранен.
В 1917 году был назначен военным комиссаром Анапы. После Октябрьской революции уехал в Москву.
В 1919 году назначен командиром отдельного кавалерийского дивизиона. В начале 1921 года оставил военную службу.
Приехав в Москву, он начинает посещать «Кафе поэтов», одновременно знакомится с Валерием Брюсовым, Владимиром Маяковским, Василием Каменским, Константином Бальмонтом. Создает издательство «Чихи-Пихи», где в 1919 году совместно с Бальмонтом, под влиянием которого в то время находился, издает сборник «Жемчужный коврик» и там же собственный сборник стихов «Сумерки».
Весной 1919 года входит в «Орден имажинистов» и становится его наиболее активным участником. Совместно с Сергеем Есениным и Вадимом Шершеневичем открывают книжный магазин «Лавка поэтов». Избирается заместителем председателя Всероссийского союза поэтов.
В январе 1922 года при помощи Анатолия Луначарского, отправляется в зарубежную командировку (вместе с Кусиковым едет Борис Пильняк). По дороге в Берлин около месяца проводят в Эстонии, организуя творческие вечера в Ревеле (Таллине) и Дерпте (Тарту).
За границей Кусиков выказывает свою верность революции, что порождает негодование в эмигрантской печати. В эмигрантских кругах Кусикову дают кличку «чекист». Но в итоге сам в 1924 году переселяется в Париж.
С 1924 по 1930 годах Александр Кусиков широко издавался за рубежом, в то время как на родине его имя в печати мелькает все реже. К началу 1930-х годов Кусиков окончательно прекратил заниматься творчеством.
Умер в Париже 20 июля 1977 года.