Родился и вырос в Москве на Арбате. Жена — прозаик и драматург Лидия Медведникова. Сын поэта, кинорежиссёр Дмитрий Тихомиров в 2005 году снял короткометражный фильм «Зимние каникулы» по одноимённой поэме своего отца, удостоенный наград на кинематографических конкурсах. Александр Борисович трагически погиб, похоронен в Переделкино.
Опубликовал при жизни один сборник стихов — «Зимние каникулы», не считая публикаций в газетах и журналах, а также в альманахах «День поэзии». После смерти Александра Тихомирова вышло два новых сборника — «Белый свет» и «Добрым людям», включившие почти все его стихи. Стихи Тихомирова были также включены в состав Антологии русской поэзии XX века «Строфы века», а также в сборник стихов рано ушедших поэтов «Живое слово».
По мнению Ларисы Миллер,