Родился в семье врача. В 1951 окончил механико-математический факультет МГУ, с которым оказалась связана вся его дальнейшая жизнь (учеба в аспирантуре, преподавание). В 1955 защитил кандидатскую диссертацию «Проблема моментов для целых аналитических функций», подготовленную под руководством А. О. Гельфонда.
Под влиянием Б. В. Гнеденко обратился к исследованиям по теории надёжности. В 1965 вместе с ним и Ю. К. Беляевым опубликовал книгу «Математические методы теории надежности», переведенную затем на ряд языков. Изложенные в ней и других работах результаты принесли ему известность как одного из создателей теории надежности. По этой тематике в 1972 защитил докторскую диссертацию.
В 70-е годы А. Д. Соловьёв приступает к исследованиям по истории математики, выполнявшимися в соавторстве с женой С. С. Петровой. Основными направлениями его историко-математических интересов явились теория вероятностей и математический анализ (конечные разности, преобразование Лапласа, асимптотические методы). Его работам в этой области свойственны почти математическая точность постановки историко-математической задачи, глубокое проникновение в математическую сущность проблемы, блестящая математическая и историко-математическая ее проработка.
А. Д. Соловьёв состоял членом экспертного совета ВАК по специальности «Математический анализ», членом диссертационных советов механико-математического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, заместителем председателя диссертационного совета по истории физико-математических наук Института истории естествознания и техники им. С. Н. Вавилова РАН, членом редколлегии сборника «Историко-математические исследования». С 1992 — заместитель заведующего кафедрой теории вероятностей мехмата МГУ. Авторитет А. Д. Соловьёва как математика позволял ему отстаивать в математическом сообществе интересы историко-математической науки.
Заслуженный профессор Московского университета (1999)