Родился 4 ноября 1800 года в семье новгородского дворянина, капитана Дмитрия Алексеевича Тыркова (1755—1841). Обучался в частном пансионате протоиерея Камского, а затем, по рекомендации министра юстиции Гавриила Державина, был принят в только что открытый Царскосельский лицей.
В Лицее Александр Тырков занимал комнату № 32. В воспоминаниях современников Александр Тырков «не столько счастлив своими способностями, которые старается заменить прилежанием, однако успехи его посредственны». За особенности телосложения и смугло-бурый цвет лица однокашники шутливо называли своего товарища «Туркус брус кирпичной».
В июне 1817 года Александр Тырков вместе с другими окончил курс Лицея и был выпущен прапорщиком в Северский конно-егерский армейский полк. В мае 1820 года произведён в поручики. Через два года в чине штабс-капитана уволен от службы по болезни.
В его петербургской квартире на Васильевском острове друзья не раз отмечали «Лицея день заветный».
Умер 7 ноября 1843 года и был похоронен рядом с отцом на кладбище при церкви святого Николая Чудотворца в Соснинской пристани — ныне станция Волхов мост.