Родился и вырос в Хабаровске в семье спортсменов: его родители — мастера спорта по лыжным гонкам. Именно со своей семьей Александр завоевал свою первую награду в спорте — медаль в конкуре «Мама, папа, я — спортивная семья». На лыжах — с четырех лет. В течение 12 лет тренировался под присмотром своего отца в детской лыжной секции при школе № 22 города Хабаровска (ныне Экономическая гимназия). В 15 лет, учась в девятом классе, Александр выиграл детский чемпионат России по лыжным гонкам.
Спустя какое-то время лыжная секция, в которой занимался Александр Панжинский, была переведена на баланс краевой детской спортивной школы, курируемой Министерством образования. Этот период характеризуется регулярными поездками на региональные и всероссийские соревнования, на которых Александр завоевывал свои первые награды. Чуть позже, когда школу передали спорткомитету, число поездок значительно сократилось. Панжинский продолжал раз за разом пробиваться на всероссийские соревнования, но его на них, вероятно, по финансовым причинам не отправляли.
В 2008 году неудачно выступил на основных соревнованиях — Спартакиаде учащихся: занял только восьмое место. Этот результат краевые спортивные чиновники сочли неудовлетворительным. Спортсмена признали бесперспективным и прекратили финансирование его подготовки. Однако его талант не остался незамеченным столичными тренерами — Александра Панжинского пригласили в 81-ю московскую спортивную детско-юношескую спортивную школу «Бабушкино». После долгих раздумий родители Александра отправили сына в Москву — сначала на лето, а потом ещё на год. Первые серьёзные победы пришли к Александру Панжинскому в 2009 году. Он завоевал «золото» в юниорском спринте на чемпионате мира среди молодежи и юниоров в Праз-де-Люз (Франция). Тогда же выиграл чемпионат России среди юниоров. 26 декабря 2009 Александр стал вторым на «Красногорской лыжне».
В 2009 году получил приглашение во «взрослую» сборную России. Дебютировал 12 марта 2009 года на этапе Кубка мира в Тронхейме. В общем зачете Кубка занял 136-е место. До Олимпиады-2010 лучшим результатом в карьере было пятое место в спринте на этапе Кубка мира в эстонском Отепя (17 января 2010 года).
28 ноября 2009 года уверенно лидировал в полуфинале этапа Кубка мира в Куусамо. Однако за считанные метры до финишной прямой он на ровном месте потерял равновесие и упал, тем самым лишив себя места в финале и поставив под сомнение свое участие в зимней Олимпиаде.
17 февраля 2010 года завоевал «серебро» на Зимних Олимпийских играх в Ванкувере. В драматичном финале он проиграл соотечественнику Никите Крюкову: победителя удалось выявить только при помощи фотофиниша.
.
В свободное время Александр Панжинский читает художественную литературу, ходит на балет, изучает английский язык. Любит музыку.