Член КПСС (написал заявление о выходе из партии 19.08.1991). Лауреат Государственной премии СССР (1981).
В 1953 г. окончил юридический факультет Ростовского государственного университета, а в 1959 г. — аспирантуру философского факультета МГУ. Кандидат философских наук.
С 1953 по 1954 работал народным судьей города Хадыженска Краснодарского края. В 1954—1955 — заведующий отделом пропаганды и агитации Нефтегорского райкома. В 1955 — заместитель директора Хадыженского леспромхоза. В 1955—1956 гг. — народный судья Хадыженска. После окончания учёбы в аспирантуре в 1959—1963 гг. — научный консультант редакции философии журнала «Коммунист». В 1963—1972 гг. — консультант, руководитель группы консультантов отдела ЦК КПСС. В этот период Бовин тесно сотрудничал с Юрием Андроповым, в тот период — секретарём ЦК КПСС. Известно, что ряд лет А. Е. Бовин был спичрайтером Генерального секретаря ЦК КПСС Л. И. Брежнева.
В 1968 году во время так называемой Пражской весны А. Е. Бовин участвовал в переговорах с чехословацкой стороной (Дубчек, Биляк, Гусак, Кригель и др.) в приграничном городе Чьерна-над-Тисоу. Занимал достаточно независимую позицию по поводу ввода войск Варшавского договора в Чехословакию. Независимая позиция Бовина привела к его переводу в газету «Известия». (По его собственной версии, причиной перевода послужило то, что «Находясь в Сочи, я иногда писал письма друзьям. И в одном из таких писем, будучи, видимо, в возбужденном состоянии, я дал нелицеприятную характеристику партийным бонзам, с которыми приходилось работать. Письмо это попало в КГБ».)
С 1972 по 1991 — политический обозреватель газеты «Известия». Был ведущим еженедельной телевизионной программы «Международная панорама».
В 1991 за неделю до распада СССР был назначен Чрезвычайным и Полномочным Послом СССР в Израиле, а после распада СССР до 1997 был послом Российской Федерации. В марте 1997 года был освобожден от должности в связи с уходом на пенсию. В Израиле неоднократно выступал с покаянными заявлениями за политику государственного антисемитизма в СССР.
С сентября 1997 — политический обозреватель газеты «Известия». С декабря 1997 — автор и ведущий публицистической программы «Разговор по существу» на телеканале «ТВ-Центр». Публиковался в журнале «Итоги».
Кандидат философских наук. Дипломатический ранг Чрезвычайного и Полномочного Посла присвоен 12 ноября 1991 года. Заведующий кафедрой журналистики Российского государственного гуманитарного университета (РГГУ).
"Коммерсант" приводит легенду, которая гласит, что на какой-то дружеской вечеринке его спросили, читал ли он последнюю речь Леонида Ильича. «Что значит "читал"? Я ее писал»,- ответил Александр Бовин и на следующий же день начал новую карьеру — политобозревателя газеты «Известий».
Умер в Москве, дома, от кровоизлияния в мозг. Похоронен на Троекуровском кладбище.