Александр Шинин начал свою профессиональную карьеру в 2001 году в родном челябинском «Тракторе». В следующем году Александр перешёл в череповецкую «Северсталь», где и выступал до 2010 года, за исключением периода 2004—2005 годов, когда он играл за челябинские клубы «Мечел» и «Трактор», которые выступали в Высшей лиге. В череповце же Шинин стал одним из основных защитников, заслужив в 2009 году звание капитана команды.
Сезон 2010/11 Александр начинал в «Северстали». Однако, из-за травмы сыграл за череповчан лишь 3 матча, после чего 17 октября подписал контракт с родным «Трактором», в составе которого за остаток сезона набрал 11 (3+8) очков в 37 проведённых матчах.
За сборную России Александр Шинин выступал на юниорском чемпионате мира 2002 года, на котором вместе с командой завоевал серебряную медаль.