Александр Германович Генкель родился в городе Вильно Российской империи (сейчас — Вильнюс, Литва) 20 июля 1872 года. В 1896 году окончил курс на Естественном отделении Физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. В 1897 году стал ассистентом на кафедре ботаники. Осенью того же года Генкель перешёл в Новороссийский университет, где в 1899 году был избран приват-доцентом. В 1900 году приглашён ассистентом в Санкт-Петербургский университ. Там же, осенью 1902 года защитил диссертацию на степень магистра ботаники. 4 раза был командирован за границу для изучения морских водорослей, а в 1904 году принимал участие в работе Каспийской экспедиции.
Участвовал в создании Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона, написав ряд статей по морфологии морских водорослей.
Значительная часть исследований А. Г. Генкеля посвящены изучению мелких свободно плавающих водорослей, биологии низших организмов и морфологии покрытосеменных растений. Он опубликовал ряд статей о планктонных водорослях Карского и Каспийского морей, озера Байкал и нескольких рек Урала. В 1911 году в Новороссийском университете защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора ботаники на тему «Материалы к фитопланктону Каспийского моря по данным Каспийской экспедиции». В 1923 году опубликовал статью о классификации симбиоза.
В 1916—1927 гг А. Г. Генкель возглавлял кафедру морфологии и систематики растений Пермского государственного университета. Основал Ботанический сад при университете.
В 1921—1920 гг возглавлял Пермское губернское статистическое бюро и Комиссию по районированию Пермской губернии. Опубликованные им работы по районированию легли в основу определения границ отдельных районов губернии. Учитивая интенсивную культурную жизнь Перми, предложил выделить из состава губернии отдельный Пермский округ, в результате чего в 1923 году была сформирована Пермская область.
Многие из потомков А. Г. Генкеля занимались научной деятельностью в ПГУ. Его сыновья — П. А. и А. А. Генкель продолжали в университете исследования отца. Дочь, М. А. Генкель, возглавляла кафедру русского языка и общего языкознания. Внук, профессор ПГУ Г. А. Воронов — учёный-эколог.
Именем Генкеля названа улица в Дзержинском районе Перми.
А. Г. Генкель опубликовал более 200 работ по ботанике и планктологии. Помимо научной и художественной литературы хорошо знал современную поэзию и писал литературно-критические статьи для печатных изданий.
Некоторые из публикаций:
А. Г. Генкель владел 9 языками и выполнил ряд переводов научной литературы, в том числе: монография Е. Варминга «Распределение растений» (1902), «Жизнь растений» Кернера фон Мариулана в 2 томах (совместно с В. А. Траншелем, под редакцией И. П. Бородина, Санкт-Петербург, 1898—1900 гг). Также перевёл «Утопию» Томаса Мора, «Город солнца» Томмазо Кампанеллы, книги А. Брема, Э. Геккеля, М. Корнфельда и многих других.