Родился в семье семьи музыкантов классической школы. С 1964 по 1971 годы учился в Государственном музыкальном училище имени Гнесиных. Позднее окончил Государственный музыкально-педагогический институт имени Гнесиных. Начиная с 1977 года он написал музыку для 25 художественных фильмов, 300 документальных и анимационных, а также для ТВ-передач, телевизионной рекламы, спортивных и цирковых программ, сценических представлений в СССР, США и других странах.
В 1990-е эмигрировал в США. 6 лет, с 1991 по 1997 годы, работал креативным директором американской телерадиокомпании WMNB, вещающей на русском языке. В настоящее время владелец SportMusic.com и ABG World LLC.
ABG World занимается съёмками документальных фильмов, ТВ-шоу, рекламных и музыкальных роликов, анимацией, пост-продакшн. Среди клиентов — «Аэрофлот», AT&T, «Красный Октябрь», Кировский балет, Lexus, Cabaret Lido, «Новое русское слово», Western Union и другие. SportMusic.com готовит музыкальные программе для фигурного катания, синхронного плавания, спортивной и художественной гимнастики.
Проживает в городе Неаполь, штат Флорида.
Участвовал в создании серии мультфильмов «Ну, погоди», выпуски 11, 12, 13, и 14. Принимал участие в работе над фильмом «Да здравствует Мексика!», снятого в 1931—1932 годах Сергеем Эйзенштейном и смонтированного в 1979 году Григорием Александровым. Кроме музыки к фильмам, готовил музыкальные программы для российских фигуристов. Елена Чайковская в своей книге «Фигурное катание» писала:
Великолепным помощником для меня и моих учеников почти полтора десятилетия является композитор Александр Гольдштейн. За участие в подготовке многих чемпионов мира, Европы, олимпийских игр ему присвоено звание заслуженного тренера РСФСР. Александр Гольдштейн создал десятки — если не сотни! — блестящих музыкальных композиций. Они были разными по характеру, но всегда приносили глубокое эстетическое удовольствие и самим исполнителям, и тренерам, и миллионам зрителей. Композитор не только охотно делится секретами своего мастерства, но и последовательно учит юных спортсменов пониманию музыки, уважению к ней.