Родился в деревне Драгли Сокальского уезда Гродненской губернии в семье служащего военного ведомства г. Гродно. Еврей.
Работал с 1918 посыльным, рабочим, помощником мастера, закончил заочно Рыбинский механический техникум. В 1921 поступил на физико-механический факультет Петроградского политехнического института. Весной 1923 А. Ф. Иоффе привел его в числе 6 студентов в свою лабораторию в ЛФТИ, в июле-августе 1928 вместе с другими молодыми физтеховцами выехал в Германию на средства, заработанные Иоффе за консультации компании «General Electric» (США). В октябре 1928 переводится в харьковский ФТИ, где с марта 1930 был заместителем директора, а с 1933 — директором. Руководил также ядерной лабораторией УФТИ, с марта по декабрь 1935 работал в Кембридже у Резерфорда. На момент ареста проживал в г. Харьков, Юмовский туп., д. 6, кв.1 (высоковольтный корпус УФТИ).
В 1924 (или в 1925) задерживался органами ГПУ в Ленинграде, причины неизвестны. В 1937 исключен из рядов ВКП(б) «за пособничество врагам народа» и снят с должности директора. Арестован в Харькове 14 июня 1938. Содержался в тюрьме г. Киев. В связи с истечением срока следствия (2 месяца) и отсутствием достаточных данных для предания суду (А. Вайсберг и Ф. Хоутерманс не дали показаний на Лейпунского) по постановлению нач. 1 отделения 3 отдела УГБ НКВД УССР Ровинского от 8 августа 1938 дело в отношении Лейпунского было прекращено и он был освобожден.
С 1939 года А. И. Лейпунский — руководитель исследований по проблеме «Изучение деления урана», а также с 1940 по проектированию циклотрона. Принимал участие в работе Ядерной и Урановой комиссий АН СССР. В 1941—1944 — директор Института физики и математики АН УССР, где занимается оборонными задачами, в 1944 создает там отдел ядерной физики. В 1944—1949 — директор Института физики АН УССР, также зав. сектором ИТЭФ АН СССР, зав. кафедрой и декан инженерно-физического факультета Московского Механического Института (ММИ). В 1946 восстановлен в партии, в 1949 возглавляет отдел Обнинского физико-энергетического института.
С 1950 научный руководитель программы создания ядерных реакторов на быстрых нейтронах. В Обнинске он стал научным руководителем проекта реактора с жидкометаллическим теплоносителем, который лёг в основу принципиально новой двигательной установки подводной лодки К-27. В Обнинске им была создана школы физиков-ядерщиков.
Умер в Обнинске, похоронен на Кончаловском кладбище.
В Обнинске имя Лейпунского присвоено Физико-энергетическому институту и улице. На одном из домов по улице Лейпунского установлена мемориальная доска.