Отец — Иншаков Иван Семёнович (1915 г.) — преподаватель физкультуры в школе. Мать — Иншакова Зоя Алексеевна (1924 г.). Вырос в районе Кожухово. После окончания средней школы № 509 поступил на завод-ВТУЗ при ЗИЛе, работал в механосборочном цехе. Работал тренером по гимнастике (1967—1974), тренером по дзюдо (1974—1980) в ДСО «Труд», в 1984 году окончил заочное отделение Московского областного педагогического института, получил специальность тренера-преподавателя.
В начале 1970-х годов по совету скульптора Александра Рукавишникова Александр Иншаков стал тренироваться под руководством Алексея Штурмина. Через 3-4 года тренировок стал инструктором, получил чёрный пояс. Участвовал в соревнованиях — был абсолютным чемпионом на первом чемпионате Москвы в 1979 году. После запрета каратэ Александр ушел в «подполье», участвовал в показательных выступлениях. На данный момент перешёл в айкидо. В одном из интервью сообщил, что занимается 3-4 часа в день.
Благодаря Алексею Штурмину Александр Иншаков попал в кино, где играет в основном персонажей владеющих единоборствами или выполняющих сложные трюки. Как правило, является постановщиком трюков в фильмах, в которых участвует. Более 20 лет работает на киностудии «Мосфильм». Увлекается дайвингом, горными лыжами.
Федеральным Бюро Расследований Александр Иншаков был признан «нежелательным» и получил отказ в праве въезда на территорию США из-за подозрений в связях с организованными преступными группировками.
Супруга — Терентьева Марина Леонидовна 1965 г. р.