Родился 23 сентября 1922 года в деревне Селище ныне Калязинского района Тверской области в крестьянской семье. Русский. Образование неполное среднее, окончил курсы землеустроителей, работал техником-землеустроителем в городе Загорск (с 1991 года — Сергиев Посад) Московской области.
В Красной армии с 1941 года. В 1942 году окончил Московское военное пехотное училище и был направлен на фронт.
Командир роты 1-го мотострелкового батальона 69-й механизированной бригады (9-й механизированный корпус, 3-я гвардейская танковая армия, Воронежский фронт) комсомолец лейтенант Александр Алексеев в ночь на 22 сентября 1943 года в числе первых переправился через реку Днепр в районе села Григоровка Каневского района Черкасской области Украины.
Рота под командованием лейтенанта Алексеева овладела плацдармом и прочно удерживала его.
13 октября 1943 года рота Алексеева А. И. вновь отличилась в боях с крупными силами противника.
Лейтенант Алексеев А. И. пал смертью храбрых 14 октября 1943 года при отражении вражеской контратаки.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм лейтенанту Алексееву Александру Ивановичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.