Родился 2 февраля 1925 года в станице Маркинская Цимлянского района Ростовской области в семье донского казака. Русский.
Окончил 8 классов Маркинской школы. Член ВЛКСМ. В 1941 году его Иринина эвакуировалась в Сибирь, где он работал в шахте.
В Красной Армии с 1943 года. Участник Великой Отечественной войны с января 1944 года. В 47-м гвардейском кавалерийском полку Иринин был наводчиком станкового пулемёта «Максим».
31 января 1944 года во время боя за село Надточаевка Шполянского района Черкасской области фашисты контратаковали наших кавалеристов. Вражеская группировка, пытаясь вырваться из Корсунь-Шевченковского окружения, ввела в бой резервы. В критическую минуту боя гвардии сержант Иринин ворвался на пулемётной тачанке во вражескую цепь и длинными очередями из пулемёта разил фашистов, уничтожив при этом более 100 гитлеровцев. Воспользовавшись дерзкой вылазкой пулемётчика, кавалерийский эскадрон стремительным манёвром овладел крупным населённым пунктом Надточаевкой.
7 февраля 1944 года в бою под селом Валява Городищенского района Черкасской области, отбивая атаку фашистов, Александр Иринин остался у пулемёта один, но вёл огонь до последнего патрона. Раненным, он не покинул поле боя, продолжая отбиваться от гитлеровцев гранатами. За этот подвиг Иринин был представлен к геройскому званию.
6 мая 1944 года при наступлении на опорный пункт фашистов в селе Новая Буда на территории Румынии, гвардии сержант Иринин был снова тяжело ранен. Истекая кровью, он вёл огонь по фашистам из своего пулемёта до тех пор, пока не потерял сознание, но рана оказалась смертельной...
Похоронен Герой на месте последнего боя в селе Новая Буда (Румыния).
Председатель Президиума Верховного Совета СССР Николай Михайлович Шверник писал матери Александра Иринина: