Родился в городе Мценск Орловской губернии в купеческой семье. По окончании курса в Московской 1-ой гимназии поступил в число студентов Московского университета, который и окончил по историко-филологическому факультету со степенью кандидата (в 1865 г.). Занявшись по окончании университета педагогической деятельностью, Александр Иванович вместе с тем все свом досуги посвящал учёным работам, которые пошли у него так успешно, что в 1874 году он уже имел степень магистра истории всеобщей литературы. Выдающиеся качества диссертации на тему «Опыт сравнительного изучения западного и русского эпоса: Поэмы ломбардского цикла», а также других работ доставили Александру Ивановичу возможность занять в Харьковском университете кафедру истории всеобщей литературы. По получении степени доктора по работе на тему «Святой Георгий и Егорий храбрый» защищавшую в Санкт-Петербурге в 1879 году, Александр Иванович в том же году стал экстраординарным профессором Новороссийского университета. В 1898 году он оставляет Одессу и переходит в Московский университет, в котором читает курсы по русской литературе, по истории всеобщей литературы и занимает должность декана факультета, а на конец должность помощника ректора в которой он окончательно подорвал свое здоровье.
Московский период можно назвать столь же плодотворным, как и предыдущие. Он переиздает свои «Очерки по истории новой русской литературы», печатает ряд статей о Пушкине. Пишет критическую биографию Гоголя и подготовляет к печати критическое издание его сочинений, деятельно участвует в работах археологических съездов, усиленно работает в комиссии покойного Н. П. Боголепова и при всём этом находит время для всякого студента, обравшегося к нему за советом, исправно отвечает на все письма и приходит с помощью туда, где его ждут.
В высшей степени плодотворна для музеев была деятельность как учёного, но не меньше значения имела его нравственная личность и оказываемое им влияние на окружающих. В Румянцевском музее Александр Иванович занимал должность то хранителя древностей (1898—1902 гг.), то библиотекаря (с 1902 г.). Археографическая комиссия при Московском археологическом обществе и Русское библиографическое общество при университете считали Кирпичникова своим председателем. Это и влияло на его труды, которые всегда занимали читателя своей темой.