Окончил в 1820 году Петербурге Горный кадетский корпус, был определен в Барнаульскую главную чертежную.
В 1821 году откомандирован в Нерчинские заводы. Служил в канцелярии главного начальника, работал в поисковых партиях в окрестостях Нерчинского Завода, Воздвиженского рудника. Разработал положение о Нерчинском горном училище.
В 1826 году проводил геологические исследования золото— и оловосодержащих руд Адун-Челонского хребта. В том же составил описание 80 видов нерчинских минералов, из них некоторые найдены и определены впервые. В «Горном журнале» опубликовал статью «Описание кряжа Адун-Челона», «Географическое описание долины Ишагинской», «Описание Ундинского золотосодержащего прииска».
По возвращении на Алтай в 1829 году А. И. Кулибин определен помощником управляющего Змеиногорским краем. Интересовался местной топонимикой.
В 1829 — 1830 годах в Змеиногорске действовала особая военно-судная комиссия под председательством маркшейдера А. И. Кулибина с задачей «усилить скорейшее производство и решение дел» в Змеиногорской комиссии военного суда. Из Забайкалья уехал на Колывано-Воскресенские з-ды, работал управляющим Локтевским заводом.
В связи с передачей рудников и заводов в аренду Министерству финансов (1830) министр Е. Ф. Канкрин пожелал иметь подробное их описание. Это было поручено сделать А. И. Кулибину. В 1834 году он представил «Описание Колывано-Воскресенских заводов по 1833 г.».
Император Николай I «за отлично-усердную службу и труд по составлению описания Колывано-Воскресенских заводов» наградил А. И. Кулибина орденом Святого Владимира 4-й степени. «Труд А. И. Кулибина, – писал известный исследователь Алтая профессор Г. Е. Щуровский, – написан с совершенным знанием дела и заслуживает полную благодарность». Работа стала ценным вкладом в историографию Алтая.
С 1834 году А. И. Кулибин — управляющий казенными золотыми промыслами. Составил «Краткое описание всех известных золотосодержащих россыпей, открытых с 1830 по 1835 год» (1835 год).
27 апреля 1837 года несчастный случай на охоте оборвал жизнь талантливого горного инженера, по отзыву главного начальника Колыванских и Алтайских заводов Е.П. Ковалевского, явно выходившего «из разряда обыкновенных чиновников».
Стихи А. И. Кулибина печаталсь в «Трудах Вольного общества российской словесности». Александр Иванович со своими стихами выступал в разных литературных обществах Санкт-Петербурга.
Исследовал местную топонимику.