В 1978 году закончил Ярославское театральное училище. С 1978 по 1986 год работал в Северодвинском театре драмы. В 1986 году после окончания ГИТИСа пришел в Новосибирский академический молодёжный театр «Глобус».
В 1994 году Александру Варавину присвоено почетное звание «Заслуженный артист России».
А. Варавин в труппе театра «Глобус» является ведущим исполнителем ряда значительных ролей в спектаклях, определяющих афишу театра. Каждая работа этого актера — результат серьёзного анализа и мастерского освоения образа, её отличительная черта — глубина и точность исполнения. Внешняя выразительность облика, яркий темперамент сочетаются в нем с умением мыслить, проникать в суть человеческой индивидуальности, способностью раскрыть сложные сферы человеческого духа.
Особо стоит отметить работу Варавина в «Игроках» Н. Гоголя. Одно из важных условий этого спектакля — сохранение актерского ансамбля, с чем Варавин блестяще справился. Роль Швохнева Варавин исполняет очень четко и гротесково, сумев при этом не окарикатурить, не «заземлить» своего героя. А роль Щебнева в спектакле «Свадьба Кречинского» А. Сухово-Кобылина — доказывает еще раз его органичное умение вливаться в ансамбль. Одна из ключевых работ актера, Принц в «Двойном непостоянстве» П. Мариво (спектакль-лауреат Национальной театральной премии «Золотая маска») отличается особой энергетической окраской. Он заставляет зрителя находиться в постоянном напряжении, вызывая тем самым неподдельный интерес на протяжении всего действия.