B 1925 году окончил Харьковский Музыкально-драматический техникум.
Стал работать актёром агиттеатра «Синяя блуза», в разных отделениях которого также выступали Владимир Маяковский, Демьян Бедный, Александр Роу, Константин Листов, Семён Эйдинов и многие другие теперь известные, а тогда начинающие деятели искусств. Там он познакомился с Анатолием Трудлером, с которым скоро создал эстрадный шуточный музыкальный дуэт. Вместе они исполняли злободневные куплеты, диалоги, интермедии. Шуров играл на рояле, Трудлер пел и вел конферанс. С 1935 года работали в Москве. В начале войны Трудлер вступил в народное ополчение и погиб на фронте.
В 1946 году Шуров пригласил молодого актера Николая Рыкунина работать вместе в эстрадном дуэте, заменив таким образом погибшего на войне Анатолия Ивановича Трудлера. Совместные выступления пользовались успехом у зрителей: они исполняли сатирические куплеты (обычно выше критики сферы бытовых услуг советская сатира тогда не поднималась), юмористические переделывания современных песен, пародии, скетчи, веселые интермедии. Через много лет Николай Рыкунин вспоминал:
В середине 1950-х годов артисты создали маленький эстрадный театр, для участия в спектаклях которого приглашали и других исполнителей: актеров и музыкантов. Для дуэта писали авторы: Борис Ласкин, Эмиль Кроткий, А. Мерлин, Я. Грей, О. Левицкий, Георгий Териков, Альберт Левин, В. Дыховичный и М. Слободской и др., композиторы Никита Богословский, Давид Ашкенази. Их выступления пользовались успехом у зрителей, они обязательно принимали участие в праздничных правительственных телевизионных концертах, записывали пластинки своих программ.
В 1979 году А. Шурову и Н. Рыкунину присвоено звание Народных артистов РСФСР.
С 1991 года Шуров прекратил выступления по состоянию здоровья. Рыкунин какое-то время продолжил их один или в дуэтах с приглашенными актёрами.
Александр Израилевич Шуров умер 18 декабря 1995 года, похоронен на Донском кладбище в Москве.