Александр (Сендер) Кипнис родился в Житомире в очень бедной семье. Талант Кипниса к пению был замечен в раннем детстве и мальчиком после смерти отца он был отдан певчим с проживанием к гастролировавшему в Житомире бессарабскому кантору. Таким образом, детские годы будущий певец провёл синагогальным певчим в Бессарабии и начал собственную музыкальную карьеру кантором. Одновременно был занят в водевильных постановках еврейской театральной труппы на идише.
Решив продолжить музыкальное образование, Кипнис поступил в Варшавскую консерваторию на дирижёрское отделение. Впоследствии обучался пению в Берлине у выдающегося педагога Эрнста Гренцебаха. Дебютировал в качестве оперного певца в Гамбурге. В первые годы своей карьеры выступал в Висбаденской опере, впоследствии стал ведущим басом Берлинской городской оперы. Также выступал в Берлинской и Венской государственных операх, регулярно появлялся в Чикаго. Участвовал в Байройтском фестивале.
С 1931 года жил в США.
С 1940 года был солистом «Метрополитен-оперы» (Нью-Йорк) и выступал во многих крупных театрах мира. По окончании певческой карьеры (1952) занимался преподаванием.
Александр Кипнис обладал голосом замечательного тембра, его пение богато нюансами и отличается глубоким проникновением в роль. Он одинаково хорошо исполнял более 100 оперных партий немецкого, итальянского и русского репертуара. Кроме того, Кипнис был выдающимся исполнителем песен, в особенности Брамса.