Александр Крамов родился 23 декабря 1884 года (4 января 1885) в Киеве, в семье учителя. В 1908 году окончил юридический факультет Киевского университета. Одновременно с учёбой занимался в драматической студии. В 1905—1909 годах играл в театре Н. Н. Соловца в Киеве.
В качестве актёра и режиссёра работал Херсона и Самары. В 1913—1915 годах служил в театре Незлобина в Петрограде. В 1917 году перебрался в Москву. С 1924 по 1933 годы играл в театре МОСПС.
В 1933 году Александр Крамов пришёл в труппу Харьковского русского драматического театра, а с 1936 года возглавил этот театр и оставался у руководства театра до своей кончины в 1951 году.
В Харьковском театре Александр Григорьевич осуществил ряд постановок пьес А. Н. Островского, Л. Н. Толстого, А. П. Чехова, М. Горького, Н. Ф. Погодина, А. Н. Афиногенова, А. Е. Корнейчука.
Александр Григорьевич создавал на сцене образы привлекающие мягкостью исполнения, речевой разработкой образов, насыщенностью мысли.
Александр Крамов в течение многих лет занимался педагогической работой, передавая свой опыт молодым актёрам. С 1936 года по 1941 он являлся руководителем студии при Харьковском театре, с 1947 года года являлся педагогом Харьковского театрального института. С 1948 года — профессор.
Александр Григорьевич Крамов являлся депутатом ВС УССР 1-го созыва, депутатом ВС СССР 2-го созыва.
Умер 17 мая 1951 года. Похоронен на 2-м городском кладбище Харькова.
Жена — Воронович Александра Петровна (1898—1985) — актриса театра, народная артистка СССР (1954).