Родился 1 (14) марта 1914 года в селе Голубовка Екатеринославской губернии (ныне посёлок городского типа Комиссаровка Перевальского района Луганской области Украины). В 1930—1936 годах — помощник машиниста паровоза, учитель школы-интерната.
Призван в Красную Армию в 1936 году. Участвовал в Советско-финской войне (1939—1940). С июля 1941 года участник Великой Отечественной войны. Совершал первые налёты советской бомбардировочной авиации на Берлин (август 1941 года) и другие важные объекты в тылу противника. К сентябрю 1943 года Алгазиным совершено 195 боевых вылетов.
После войны продолжал службу в ВВС. В 1947 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава. С 1954 года подполковник А. К. Алгазин — в запасе.
Жил в городе Прилуки Черниговской области Украины. Умер 23 апреля 1985 года.