Родился 2 декабря 1959 года в селе Петровка Приморского края.
В 1985 году окончил Театральное училище имени Б. В. Щукина и с 3-го курса был принят в труппу театра на Малой Бронной. В 1983 году выходит на экраны скандальный фильм Сергея Овчарова «Небывальщина», где Александр сыграл главную роль Незнама. Госкино признало фильм антисоветским и пыталось уничтожить негатив. Только благодаря усилиям известного кинорежиссёра Глеба Панфилова, учителя С. Овчарова, и некоторым другим доброжелателям, фильм был спасён. В 1986 году вышел фильм «Джек Восьмеркин — „американец“», который сделал Кузнецова, сыгравшего в этой картине главную роль, настоящей кинозвездой советского экрана.
В начале 1990-х, когда в России практически ничего не снимали, Кузнецов получил приглашение в два международных проекта. Он снимается в 13-серийном телефильме «Аляска Кид» и художественном фильме «Бегущий по льду». По контракту обоих проектов его пригласили на досъёмки и озвучание в Голливуд, где позднее он пробовал свои силы в таких проектах, как «Беверли Хиллз 90210», «JAG», «VIP», «Разрушитель», «Космические ковбои», «Миротворец» и «Везунчик». Постепенно Александр переезжает в Лос-Анджелес.
Он не только успешно снимается в кино, но и организовывает международную школу актёрского мастерства «International Actors School». Уникальный метод обучения, основанный на системах Константина Сергеевича Станиславского, Михаила Чехова и лучших американских актёрских и режиссёрских тренингах, привлекает широкое внимание индустрии кино.
Его занятия посещают как начинающие, так и профессиональные артисты, режиссёры и сценаристы, как например, Владимир Лерт. Параллельно он начинает преподавать в SCFU и других значимых школах Лос-Анджелеса.
В 2009 году начал преподавать в школе-студии МХАТ, на русско- и англоязычных курсах. Так же основал Московскую международную киношколу «Кузница Кино и Телевидения». Совместно с настоящим игровым телеканалом «Где и Кто» запустил еженедельное реалити-шоу «Кузница Кино».