Член-корреспондент АН СССР (1946), академик АН СССР (1958), член бюро Отделения общей физики и астрономии АН СССР (1963).
Отец экономико-географа профессора А. А. Минца (1929—1973).
В 1913 году окончил с золотой медалью 2-ю Ростовскую гимназию Н. П. Степанова. С 1914 учился в Московском и Харьковском университетах, но в 1918 окончил физико-математический факультет Донского государственного университета.
В 1920—1928 годах служил в рядах РККА, сначала командиром радиодивизиона Первой конной армии, а с 1921 — в Высшей военной школе связи РККА (Москва), начальником радиофакультета и заведующим радиолабораторией. В 1932 году экстерном закончил Московский электротехнический институт инженеров связи. В 1934 ему была присуждена степень доктора технических наук.
С 1928 по 1943 годы работал в лабораториях радиопромышленности и на строительстве мощных радиостанций.
В 1946 организовал Радиотехническую лабораторию АН СССР, в 1957 преобразованную в Радиотехнический институт АН СССР.
Директор РТИ АН СССР (1957—1970).
Александр Минц создал научные школы в области радиостроения и ускорительной техники. Область исследований ученого — радиотехника и ускорительная физика, и техника (создание ускорителей и радиоэлектронных схем к ним). Проектировал и строил радиостанции возрастающей мощности. Был научным руководителем разработки систем радиоэлектроники больших советских циклических и линейных ускорителей, в частности — дубнинского синхрофазотрона на 10 ГэВ, протонного синхротрона с сильной фокусировкой на 7 ГэВ (ИТЭФ), Серпуховского протонного синхротрона У-70 на 70 ГэВ (ИФВЭ).
В 1961 предложил новый принцип работы ускорителя — использование автоматического регулирования параметров ускорителя по информации, получаемой от ускоряемого пучка частиц (принцип автокоррекции).
В 1967 выдвинул новый способ формирования вращающихся релятивистских электронных колец в вакууме.
В 1969 обосновал возможность создания протонного синхротрона на энергию 4-5 ТэВ с использованием сверхпроводящих магнитов.