Александр Мельников родился в семье с глубокими музыкальными традициями. Внук российских композиторов Н. К. Чемберджи и З. А. Левиной. Начал играть на фортепиано в шесть лет, в семь лет дебютировал с концертом Баха в Большом филармоническом зале Минска под управлением дирижёра Ефимова. Окончил с отличием Центральную музыкальную школу (1980—1991) и Московскую государственную консерваторию в 1997 году по классу фортепиано у профессора Л. Н. Наумова. Стажировался в Мюнхенской Высшей школе музыки у Элисо Вирсаладзе и в Международном фортепианном фонде (Озеро Комо, Италия) у К. Шнабеля и А. Штайера. Святослав Рихтер приглашал его на свои фестивали в Москве и во Франции.
С 2002 года преподаёт специальное фортепиано в Королевском музыкальном колледже в Манчестере (Великобритания). Выступает на крупнейших сценах мира в качестве солиста и ансамблиста, владеет современными и старинными инструментами. Среди партнёров по камерному ансамблю — Вадим Репин, Виктор Третьяков, Изабель Фауст, Андреас Штайер, Борис Березовский, Александр Рудин. Выступает с дирижёрами М. Плетнёвым, Ю. Башметом, В. Гергиевым, В. Федосеевым, Слаткиным, Ш. Дютуа и многими другими. В сотрудничестве с фирмой «Гармония мунди» выпустил более десяти сольных и камерных дисков, имеющих большой успех и получивших многочисленные интернациональные награды.
Солист Московской Государственной Филармонии (1992), Заслуженный артист России (1999).