В 1914 году окончил артиллерийское училище. Во время Первой мировой войны служил в артиллерии, в это же время заинтересовался авиацией.
В 1919 году эмигрировал во Францию. В 1922 году Картвели окончил Высшую школу авиации в Париже. Некоторое время работал летчиком-испытателем в фирме знаменитого Луи Блерио, однако травмы, полученные в аварии, поставили крест на его карьере пилота.
Решив не расставаться с авиацией, поступил конструктором в компанию «Societe Industrielle», где участвовал в разработке самолетов «Bernard» и «Ferbois». В 1924 году один из самолетов, созданных при его участии, установил мировой рекорд скорости.
В 1927 году американский миллионер Чарльз Левайн пригласил Картвели в Нью-Йорк. В 1928 году Картвели начал работать в компании «Fokker American Company».
В 1931 году он познакомился со своим соотечественником Александром Северским — уже известным в то время в США авиаконструктором — и стал главным инженером в его компании «Seversky Aircraft Corporation». В 1939 году компания меняет свое название на «Republic Aviation Company».
В годы Второй мировой войны создал тяжелый истребитель «P-47 Thunderbolt», широко использовавшийся как ВВС США, так и союзниками.
Среди других известных разработок Картвели — послевоенные самолеты «F-84 Thunderjet», «F-105 Thunderchief» и «A-10».