Александр Мягченков родился 16 февраля 1954 года в Рыбинске. В 1975 году окончил Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (РАТИ-ГИТИС) — курс Иосифа Моисеевича Раевского, потом Павла Осиповича Хомского.
С 1975 по 1989 гг. — актер Московского драматического театра им. А. С. Пушкина. Играл главные роли на сцене и в кино, лауреат многочисленных конкурсов.
В 1988 году пришел на телевидение, работал в легендарной Молодежной редакции. В 1989 году Окончил Институт повышения квалификации работников радио и телевидения. С 1989 по 1994 гг. был автором и ведущим знаменитой программы «НЛО: необъявленный визит», получив всенародную славу журналиста, раскрывшего тайну загадочных непознанных явлений. С 1994 по 2004 гг. вел на различных телеканалах (Первом, РТР, 2x2, М1, ТВ-3) ряд проектов о непознанных загадочных явлениях — «Экстро НЛО», «Мир будущего», «Непознанное» и др.
В 1992 году написал книгу «Пришельцы рядом» (Лауреат премии «Лучшие перья «России») и стал главным редактором альманаха «Космический век» (издается по настоящее время). С 1999 по 2004 гг. — автор, ведущий и руководитель телевизионной программы о театре — «Билет для вас», канал М1.
С 2005 года по настоящее время — автор, ведущий и руководитель программы о театре «Люди и премьеры», телеканал «Столица».
С 2005 по 2007 гг. был руководителем Специального проекта телеканала «Столица» — «Золотая коллекция» — съемки и показ в эфире лучших театральных спектаклей московских театров.
С 2006 года по настоящее время Александр Мягченков является автором и ведущим ежедневной телевизионной программы «РАЗГОВОР с Александром Мягченковым», телеканал «Столица», потом Доверие. Программа «Разговор» (до 1 января 2010 года носила название «НОЧНОЙ разговор») существует в эфире с 4 сентября 2006 года. Шеф-редактор — Марина Меркулова.
С 2008 года Александр Мягченков — начал публиковаться как журналист в журналах «Театрал», «Театральная жизнь».
В 2009 году был членом жюри театрального фестиваля «Золотой Витязь» (Москва).
Член Союза писателей России, член Союза театральных деятелей РФ, член Союза журналистов.