Отец — следователь прокуратуры, мать — учитель физики в средней школе.
Окончил Архангельский государственный технический университет (в то время Архангельский лесотехнический институт (АЛТИ)), по распределению был направлен в Северодвинск. Занимал должности мастера, прораба, главного инженера стройуправления № 1, начальника производственно-диспетчерского отдела Северодвинского строительного треста. С 1993 года первый заместитель главы администрации города Северодвинска.
8 октября 1996 года был избран главой администрации Северодвинска, набрав больше всех (42,8 %) голосов избирателей. Переизбран в 2000 и 2004 годах.
Поездки мэра за рубеж были не редки, их оплачивал муниципальний совет города. В 2008 году, после очередной поездки в Германию, на вопрос журналистки местного телевидения о том, какой опыт привез мэр горожанам, Беляев ответил: «Ну кое что у них лучше, кое-что также, а кое-чему и мы могли бы их научить…». В прессе также сообщалось о протестах населения против незаконного выдачи мэром своему родственнику разрешения на строительство торгового комплекса.
В 2009 году Беляев не стал выставлять свою кандидатуру на выборах мэра Северодвинска. Глава администрации Архангельской области Илья Филиппович Михальчук за три месяца до выборов заявил, что Беляев перейдет на работу в администрацию области. Накануне истечения своих полномочий в одном из интервью Беляев, отвечая на вопрос, не страшно ли ему оставлять город, сказал:
Конечно, страшно. И если говорить откровенно, я просто уверен, что лучше меня никто из тех, кто участвует в выборах, не справится. Можете считать это хвастовством, но это мое личное убеждение.
После выборов главы администрации города Северодвинска 2009 года, в должность мэра Северодвинска вступил Михаил Аркадьевич Гмырин.
14 декабря 2009 года губернатор Илья Михальчук назначил Александра Беляева министром по региональному развитию и местному самоуправлению. Он напутствовал экс-мэра следующими словами: «Уверен, что накопленный Вами за 12 лет работы главой города, являющегося вторым в области по величине и федеральным по сути, позволит в короткие сроки сформировать единое сообщество муниципального управления и государственной власти».